32 Ernst Lindelöp. T. XXIV. 



lière ^). Elle s'applique donc en particulier aux problèmes de dynamique, en 

 supposant que les trajectoires jouissent d'une certaine stabilité. Considérons 

 p. ex. le problème des n corps et admettons que la distance entre deux corps 

 quelconques reste constamment supérieure à une certaine limite (tant pour les 

 valeurs positives que pour les valeurs négatives du temps a:). Dans ce cas, 

 les coordonnées, ou bien les éléments elliptiques, des n corps sont développables 

 suivant les puissances de a: — Xo, quelle que soit l'époque Xq, et on voit facile- 

 ment que, 3-0 variant de — qo à + Qo , le rayon de convergence de ces dévelop- 

 pements aura une limite inférieure h différente de zéro, en sorte que les coor- 

 données seront des fonctions analytiques de x régulières à l'intérieur de la 

 bande définie au début de ce numéro. Donc, en formant d'abord les séries de 

 Taylor définissant les coordonnées dans le voisinage de x = o , puis effectuant 

 la substitution 



st 



•».S = ^{' + i + T + )- 



développant ensuite suivant les puissances de /, et écrivant enfin, à la place 

 de t, l'expression 



(29) 



nous aurons des séries représentant les coordonnées des n corps pour toute 

 valeur du temps x. 



La formation de ces séries est donc relativement facile; mais malheu- 

 reusement il n'y aurait pas grand parti à en tirer pour le calcul effectif des 

 orbites, même si l'on pouvait savoir à l'avance s'il y a stabilité dans le sens 

 indiqué et quelle valeur il conviendrait, dans ce cas, d'adopter pour la quantité 

 h, ce qui, en général, n'est pas possible. L'argument (29), en effet, tend ra- 

 pidement vers l'unité lorsque x augmente, et d'ailleurs on peut prévoir, à cause 

 de la périodicité plus ou moins approchée dont jouit, dans les cas qui se pré- 

 sentent réellement, le mouvement de chaque coi'ps particulier, que les coeffi- 

 cients successifs des séries dont il s'agit doivent présenter des périodes alterna- 

 tives de croissance et de décroissance, en sorte que, pour les époques un peu 

 éloignées, il faudrait tenir compte d'un grand nombre de termes. 



') Cf. PoiNCAKÉ, Sur Vitttéyration des équations différentielles par les séries (Comptes rendus, 

 27 février 1889); Sur les courbes définies par les e'quations différentielles. Chapitre XVII (Journal de 

 Liouville, Année 1886, page 168). Picard, Traité d'Analyse, Tome III, pages 243—248. 



