N:o 7. Sur un prindpi; de la théorie, des fonet/ons. 33 



Comme seconde application des transfoi'inations (|ui précèdent, considérons 

 une écjuation différentielle linéaire et homogène ayant les points singuliers o , 

 (Il , (t.,, .... (i„ et 00 . Soient y, , ya, . . . , «„ les distances des points «, , «.,, . . . , «„ 

 à Torigine et admettons, pour fixer les idées, que <>i < (>2 < • • • < y« • Nous 

 divisons le plan figurant la variable indépendante x en u + i régions distinctes, 

 en traçant, de rorigine comme centre, n circonférences C\, C-,,..., C„, passant 

 respectivement par les points a, , a-, ,...-, a„ , et nous nous proposons de donner, 

 pour chacune de ces régions, une représentation analytique des intégrales de 

 notre équation. 



Prenons d'abord l'un des anneaux circulaires, p. ex. celui qui est limité 

 par les circonférences ( ', et C, . D'après ce que nous avons dit plus haut, la 

 substitution 



donne la l'eprésentation conforme de cet anneau sur le cercle | ;! | < i , avec la 

 correspondance (r = x,, pour f — o. Dès lors, pour avoir une expression anal}'- 

 tiqne l'eprésentant l'intégrale générale de l'équation considérée pour tout point 

 à l'intérieur de l'anneau, on formera d'abord la série de Taylor définissant 

 cette intégrale dans le voisinage du point x — u-^ , on substituera dans cette série 



X — Xt, — a'n 



2» 

 l-t 



— 1 



et on développera ensuite suivant les puissances de f . L'expression cherchée 

 s'obtiendra en faisant dans la série résultante 



Il t 



3li 



Ce problème a été résolu par M. Mittag-Leffler '). 



Considérons maintenant la région du plan x qui est intérieure à la cir- 

 conférence C\. En posant x^e", -) on fait correspondre à cette région le 



') Sur la représentation analytique des intégrales et des invariants d'une équation diffe'rentielle 

 linéaire et homogène. Acta mathematica, Tome 1.5. 



*) M. Hamburger s'est servi de cette transformation daus son mémoire; Über ein Princip zur 

 Darstellung des Verhaltens mehrdeutiger Functionen einer complejcen Variabein, insbesondere der In- 

 tegrale linearer Differentialgleichungelt in der Umgebung singulärer Punkte. Journal de Crelle, Tome 83. 

 Voir aussi g .3 du mémoire de M. Mittag-Leffler cité ci-dessus. 



