N:o 7. Sur un principe de la théorie des fonctions. 35 



Remarquons enfin que, dans le cas particuliei' où l'équation linéaire n'a 

 d'autres points singuliers que o et ao , ses intégrales peuvent se mettre sous 



forme de séries entières toujoiu-s convergentes en log , x^ désignant une va- 



leur quelconque différente de zéro. 



Applications numériques. 



11. Nous ferons voir dans ce numéro, siu' un exemple particulier, l'uti- 

 lité réelle qu'on peut tirei', pour les calculs numériques, des transformations 

 considérées dans cette étude. Soit donnée la fonction /'(.r) définie dans le 

 voisinage de l'origine par la série entière 



Cette fonction satisfait à l'équation différentielle 



(32) |=-il«g(^--^-)' 



d'où l'on conclut immédiatement que ses points singuliers sont x = o , ./■ = i et 

 x=oo (excepté le point x = o du plan principal). Nous pouvons donc lui appli- 

 quer successivement les transformations (6), (8), (ii), (12) et (16), et nous trou- 

 vons ainsi les cinq séries suivantes, où nous nous sommes borné aux onze pre- 

 miers termes: 



f\ //,\ , • / 3 ,2 ,11 3 25 4 137 5 49 ,6 ,363,7 761 s 

 ^ ^ ' ^ ^ 4 18 48 300 120 980 2240 



7129 ^9 _ 7381 ^10 , 

 22680 25200 



(' = i^J 



(6) /•(^)=l+2i-r+A<3_^^4 46^5_23 6 352^7_^^8 



^ ^ '^ ^ ^ 9 3 75 45 735 105 



, U26 9 _ 563 10 



"^2835 1575 ^ 



V 2 - x) 



