I. Considérations générales. 



1. Dans un mémoire publié en 1869 sous le titre: Propriétés générales 

 des polyèdres qui sous mie étendue superficielle donnée renferment le plus grand 

 volume '), j'ai étudié les conditions que doit remplir un polyèdre convexe, étant 

 donné le nombre et l'étendue totale de ses faces, pour que son volume soit un 

 maximum. J'y ai démontré d'abord que si les faces sont assujetties à rester 

 parallèles à elles-mêmes, le polyèdre maximum est nécessairement circonscrit à 

 une sphère ^). 



') Inséré dans le Bulletin de l'Acadc'mie Impcrink des Sciences de S:t Fe'tersbourg, Tom. IV, et 

 couronné en 1880 du prix Steiner par l'Académie ßojale des Sciences de Berlin. 



^) Une autre démonstration de ce théorème, fondée sur des considérations entièrement 

 difîérentes, vient d'être donnée par M. Hbrjiann Minkowski dans un travail remarquable: All- 

 gemeine Lehrsätze über die convexen Polyeder (Nachrichten von der Köu. Gesellschaft der Wissen- 

 schaften zu Göttingen aus dem Jahre 1897). 



II y a un point dans notre démonstration du théorème dont il s'agit, qui aurait peut-être 

 besoin d'une petite explication. Je profite de l'occasion pour la donner ici. 



Soient o,, «„ 03 trois arêtes consécutives d'une face A, or„ «j, a, les angles dièdres corres- 

 pondants et 52 le rayon de la sphère inscrite à la fois dans ces trois angles. Cette sphère 

 est unique et par suite, comme nous l'avons dit, parfaitement déterminée, son centre se trouvant 

 au point où l'intersection des plans bissecteurs des angles «j et a, rencontre le plan bissecteur 

 de l'angle Oj. Mais ce qu'il importe d'observer, c'est que ce point n'est pas nécessairement 

 situé à l'intérieur (par rapport au polyèdre) des quatre faces dont il s'agit; il peut tout aussi 

 bien tomber à l'extérieur de ces faces ou même s'éloigner à l'infini. Par un raisonnement qui, 

 à vrai dire, ne s'applique immédiatement qu'au premier cas, nous avons établi que si l'arête a^ 

 de la face A vient à se déplacer parallèlement à elle-même d'une quantité infiniment petite dh, 

 (positive vers l'extérieur et négative vers l'intérieur de ..4), les variations correspondantes de 

 Oj, a,, «3 seront liées à dh^ par la formule 



or, fj , , «3 ('1 



cot "ö" a«i -f- cot "o" rtdj -4- cot .r da^ = — 



- " ^ P« 



diu 



et il resterait à prouver que cette formule subsiste aussi dans les deux autres cas mentionnés 

 ci-dessus. Or, si la sphère est extérieure au polj'èdre, de manière qu'elle touche, pour ainsi dire, 

 l'envers de chacune des quatre faces en question, il suffit de considérer p, comme négatif (ce 



