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Cette proposition fondamentale une fois établie, le problème se réduit à 

 trouver parmi les polyèdres circonscrits à une même sphère et ayant un nom- 

 bre de faces donné celui dont la surface totale soit un minimum. Considérons 

 en effet deux polyèdres différents à n faces P et P' circonscrits à une même 

 sphère de rayon R. Désignons leurs volumes respectifs par V et V et leurs sur- 

 faces totales par U et U'. Si C/> U', on obtiendra par une dilatation uni- 

 forme convenable de la seconde figure un polyèdre P" conforme à P' et ayant 

 une surface U"= U. Ce polyèdre est circonscrit à une sphère dont le rayon 



R" est >R; son volume V" est =3 R"U, et comme V=y^RU, il en résulte 

 que V">V. On aura ainsi construit un polyèdre P", ayant même nombre 

 de faces et même surface totale que P, mais un plus grand volume. Cette 

 construction sera toujours possible, tant que U n'est pas un minimum, d'où il 

 suit que, dans ces circonstances, le volume de P ne peut pas être un maximum. 

 En admettant au contraire que U est plus petite que toute autre surface po- 

 lyédrique de n faces circonscrite à la sphère (P), on prouve par un raisonne- 

 ment analogue que le volume du polyèdre P est plus grand que celui de tout 

 autre polyèdre à n faces dont la surface totale est = U, en sorte qu'il est alors 

 un vrai maximum. 



Pour achever à déterminer la forme de la figure maximale cherchée, il ne 

 reste donc qu'à trouver, parmi les polyèdres circonscrits à une même sphère, 

 celui dont la surface totale ou, ce qui revient au même, dont le volume est un 

 minimum, le nombre des faces étant donné. Ce polyèdre doit nécessairement, 

 comme nous l'avons énoncé dans une seconde proposition de notre mémoire, 

 avoir la propriété, que chacune des faces soit touchée au centre de gravité de 

 son aire par la sichere inscrite. C'est ce qui est d'ailleurs facile à vérifier. 



qui revient à désigner le rayon de la sphère par — p^), pour (|ue la relation précédente convienne 

 également à ce cas. D'autre part, si q, est infini, le second membre de notre formule s'évanouit 

 et l'on prouve sans difficulté, en observant que — da^, da^, da^ sont respectivement proportionnels 

 aux côtés du triangle formé par a, et par les prolongements de a^ et «3, qu'il en de même du 

 premier membre. Donc cette formule et par suite l'éijuation (6) du mémoire a lieu dans tous 

 les cas. 



Plus loin lorsqu'il s'agit de prouver que la différence 7 "" 5 ^^^ nécessairement nulle pour 



toutes les arêtes d'une face quelconque du polyèdre maximum, nous avons recours à un arti- 

 fice, consistant à éliminer toute face A, pour laquelle cette condition est déjà remplie, en réu- 

 nissant son contour avec celui d'une face adjacente B, par suppression de l'arête commune et 

 redressement des arêtes contigiies, en un seul polygone gauche. Or, on pounait objecter qu'un 

 tel artifice ne saurait être pratiqué, si les deux faces étaient triangiilah-es, parce que le polygone 

 résultant se réduirait alors à une droite. Cela est vrai; mais en ce cas le polyèdre, n'ayant par 

 hypothèse que des sommets simples, ne pourrait être qu'ma tétraèdre, figure qui est toujours 

 cu'conscrite à une sphère. 



