N:o 8. Recherches sur les polyèdres maxima. 5 



Soit, en effet, A l'une des faces, g son centre de gravité et c son point de 

 contact avec la sphère. Si ces deux points ne coïncident pas, nous menons 

 par fj dans le plan A une droite l perpendiculaire à cg et nous faisons tour- 

 ner le plan .4 autour de cette droite d'un angle infiniment petit (Im vers l'ex- 

 térieur de la sphère. En vertu du théorème de Guldin le volume du polyèdre 

 ne changera par là que d'une quantité infiniment petite du second ordre. Si 

 l'on ramène ensuite le plan parallèlement à lui-même en contact avec la sphère, 

 le volume diminuera d"une quantité du premier ordre. Par ces deux déplace- 

 ments successifs, qui correspondent ensemble à un roulement de la face ^4 sur 

 la sphère le long d'un arc clô — Bcloj, on aura donc transformé le polyèdre 

 donné en un autre polyèdre circonscrit à la même splière, mais ayant moindre 

 volume et par conséquent aussi moindre surface totale (pie le premier '). Une 

 telle transformation étant toujours possible lorsque les centres de gravité des 

 faces ne coïncident pas avec leurs points de contact, il en résulte que cette 

 coïncidence est bien une condition nécessaire pour le minimum du polyèdre 

 circonscrit. 



2. Une question qui se pose dès à présent, et de savoir si la condition 

 que nous venons d'établir poiu' le minimum d'un polyèdre circonscrit à une 

 sphère donnée, est aussi suftisante. Quelques considérations élémentaires servi- 

 ront à éclaircir cette question au point de vue géométrique. Considérons de 

 nouveau la face A, dont le plan nous supposons seul variable, et admettons 

 maintenant que les points c et g se confondent. Faisons ensuite rouler le plan 

 A sur la sphère de manière que le ])oint de contact décrive un petit arc ce. 

 Soit A' ce que devient la face A par ce déplacement et désignons par g' son centre 

 de gravité. Menons par c dans le plan A' une droite l' perpendiculaire à ce. 

 Les points c' et g' se seront en général séparés l'un de l'autre, ayant pris des 

 chemins différents. Supposons que / soit resté en arrière de l'axe instantané 

 de rotation l'; on voit alors, par les raisonnements de l'article précédent, qu"un 

 déplacement du plan A' en sens inverse, c'est à dire qui le ramènerait vers sa 



') Pom' arriver à ce résultat, il n'est jjas nécessaire que l'arc da, décrit par le point de 

 contact, soit dirigé suivant la droite eg; il suffit qu'il fasse avec elle un angle aigu. En effet, 

 si l'on désigne cet angle par (p et la distance cg par e, la variation du volume due à un tel dé- 

 placement sera en général 



(7 F= — A^ cos 99 (la, 



d'où l'on voit (jue le vohune diminue ou augmente, suivant que l'angle çp est aigu ou obtirs, c'est 

 à dire suivant que le point de contact s'approche ou s'éloigne du point occupé instantanémeut 

 par le centre de gravité de la face. 



