N:o 8. Recherches sur les x)olyèdres maxima. 1 



Un angle solide trièdre et tri-rectangle étant circonscrit à une sphère don- 

 née, trouver un plan tangent à la même sphère tel que le volume de la pyra- 

 mide triangidaire découpée par ce plan soit un maximum. 



La base de la pyramide doit être touchée pai' la sphère en son centre de 

 gravité. Mais il faut en déterminer la position. 



Prenons le sommet du trièdre pour origine et les trois arêtes pour axes 

 des coordonnées x, y, z. Les coordonnées du centre de la sphère, son rayon 

 étant pris pour unité, seront x — y — s — \. Soient «, h, c les arêtes latérales 

 de la pyramide, c'est à dire les distances de l'origine auxquelles le plan de la 

 base coupe les axes coordonnés, l'équation de ce plan sera 



« 5 + ! + ^'- 



Pour qu'il soit tangent à la sphère, il faut que le centre de celle-ci soit à la 

 distance 1 de ce plan, c'est à dire qu'on ait 



(2) ^_i_^_. = + i. 



7/^ + -+- 



le signe supérieur ou inférieur ayant lieu, suivant que la sphère est extérieure 

 ou intérieure à la pyramide. Il en résulte dans les deux cas 



(3) abc = 2 {ah -{- ac -{- hc — a — b — c). 



Le centre de gravité de la base a pour coordonnées ^ , , g . Pour qu'il coïn- 

 cide avec le point de contact, il faut que la droite qui le joint au centre de la 

 sphère, soit perpendiculaire au plan représenté par l'équation (1), ce qui donne 

 les conditions 



«(I-)-(l-)='(î~')- 



d'où 



a'i — b^ = 3 (a — b), 



(4) b^ - c2 = 3 (6 - c), 



c2 — a^ = 3 (c — a), 



