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la troisième de ces équations étant une conséquence identique des deux autres. 

 On peut satisfaire aux conditions (2) et (4) à la fois d'abord en supposant 

 a, = ô = c= 3 +]/3. A ce système de valeurs correspondent deux positions pa- 

 rallèles, diamétralement opposées de la base. Mais les équations (4) admettent 

 en outre les trois solutions suivantes: 



3 — a = h = c; 3 — h — c = a\ 3 — c = a = h; 



et pour que celles-ci satisfassent aussi à l'équation (2) ou (3), les arêtes a, h, 

 c. doivent avoir- respectivement les valeurs spéciales suivantes: 



a = 2 , i = f: = 1 , ou Z* = 2 , a = f = 1 , ou bien c = 2, a = ö=l, 



les solutions on entreraient des valeurs nulles ou négatives de ces arêtes ne 

 comptant pas. 



Il existe donc en tout cinq positions difïérentes de la base variable dans 

 lesquelles son point de contact avec la sphère coïncide avec son centre de gra- 

 vité. Nous allons examiner séparément chacune de ces positions pour vérifier 

 si elle répond ou non à un vrai maximum ou minimum du volume. 



4. Pour un système quelconque de valeurs de a, i, c le volume du 

 tétraèdre est 



D 



Faisons varier la position de la base, tout en supposant qu'elle reste tangente 

 à la sphère, et soient a (1 + v). h (1 + (3), c (1 -}- y) ce que deviennent a, b, c 

 dans cette nouvelle position, a, |j, y étant de petites quantités positives ou 

 négatives. A cause de l'équation (3) ces dernières quantités, que nous considé- 

 rons comme variables, seront liées entre elles par la relation 



(5) ^ aie (1 + «) (1 + ^) (1 + j.) =: 



ab{l + «) {l+ß) + ac(l + a) (1 + Y) + hc(l+ß} (1 +r) - «(1 + «) - /^1+1^) - cil + y). 

 Soit z/F l'accroissement du volume F, on aura 



(6) ~ = (l + a) (l + ß) (l+Y)- 1. 



En éliminant une des variables, p. ex. «, au moyen de l'équation (5), on ob- 

 tiendra zJV exprimé par deux paramètres (i, y, indépendants l'un de l'autre. 



