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et, en prenant le signe inférieur, 



2 2" 



Dans le premier cas /]V est essentiellement négatif poui' toutes les valeurs 

 suffisamment petites de (3 et 7; par conséquent il répond à un vrai maximum 

 du volume V. Dans le second cas zlV est au contraire positif, quelles que 

 soient les valeurs de ß et y; on aura donc alors affaire à un vrai minimum. 

 Passons maintenant au cas où a = 2, b — c = 1. L'équation (5) devient 

 à présent 



(1 + «) (1 + ß) (i+r) = 2 (1 + «) (1 + iï + r) + (1 + ß) (1 + ^) - (1 + lï) - (1 + y) 



ou, en réduisant, 



(l + a){l + ß+Y- ßy) = l-ßY- 



On en déduit, en développant, 



l + u=l-(ß + y)-\-{ß + Yr + --- 



d'où 



{l + cc)[l+ß){l+y) = l+ßy + ... 



et par suite 



JV 



-Y- = ßY + --- 



Comme cette expression, lorsqu'on y fait varier arbitrairement (3 et y, est tan- 

 tôt positive, tantôt négative, il en résulte que, malgré l'évanouissement de la 

 première variation de F, il n'y a dans le cas actuel ni maximum ni minimum. 



On arrive à la même conclusion en examinant les cas analogues où l'on 

 a soit b = 2, a = c = l, soit c = 2, a = & = l. Ainsi le problème n'admet en 

 définitive qu'un seul maximum et un seul minimum, le premier répondant au 

 cas où la sphère est extérieure, et le second à celui où elle est intérieure à la 

 pyramide. 



Cet exemple prouve que si l'on fait varier une face d'un polyèdre cii-con- 

 scrit à une sphère donnée, il peut y avoir plusieurs positions dans lesquelles son 

 centre de gravité coïncide avec son point de contact, et que cette coïncidence 

 seule ne suffit pas pour garantir le minimum du volume. 



