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Recherches sur les polyèdres maxima. 



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FiK. 1. 



II. Propriétés barycentriques de quelques figures 



planes et solides. 



5. Pour faciliter la recherche de polyèdres spéciaux remplissant les con- 

 ditions du maximum, il sera utile d'établir d'abord quelques propositions con- 

 cernant le centre de gravité de certaines ligures planes et solides. 



Centre de gravité d'un quadrilatère. — Si l'on joint le centre de gravité 

 d'un polygone de n côtés aux sommets de la figure, celle-ci sera divisée en 

 Il triangles, que nous désignerons sous le nom de 

 triangles barycentriques. Lorsque la figure est elle- 

 même un triangle, les trois triangles barycentii- 

 ques dont elle se compose, sont égaux. Nous al- 

 lons examini r quelles sont les propriétés analogues 

 d'un quadrilatère. 



Soit AB CD (fig. 1) un quadrilatère quelconque, 

 G le centre de gravité de son aire, l'intersection 

 des deux diagonales. Prenons OA et OB pour axes 

 d'un système de coordonnées x, y, en général obli- 

 quangle. Posons OA=h, OC — h', OB=k, OD^k'; les coordonnées Xo, y^, 

 du centre de gravité G seront 



Xn 



h - h' 



Vo 



k' 



Désignons encore par / le point d'intersection des deux médianes de la figure 

 (c'est à dire des droites joignant les points milieux des côtés opposés) ; les coor- 

 données de J seront 



h — h' k — k' 



X, - 



!/i 



Ces expressions font voir que les trois points 0, G, J sont situés sur une 



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 même ligne droite et que OG-^^OJ, ce qui fournit un moyen simple pour 



construire le centre de gravité d'un quadrilatère. Pour cela il suffit, en effet, 

 de joindre l'intersection des diagonales à celle des médianes par une droite 

 et de prolonger celle-ci d'un tiers de sa longueur. 



L'aire du triangle barycentrique GAB a pour expression 



