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L. LiNDELÖF. 



T. XXIV. 



h 



k 



h — h' k—k' 



sin^ 



•0' étant l'angle compris entre les axes coordonnés. En développant le détermi- 

 nant, on trouve 



hk + hk' + Il k sin^ 



Or, les produits 



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hk sind- hk' sin d^ h' k sin & 



représentent évidemment les aires des triangles diagonaux OAB, OAD, OBC\ 

 on aura donc 



OAB = \ {OAB + OAD + OBC). 



On obtient des formules analogues pour les autres triangles barycentriques 

 GBC, G CD, GDA et Ton est ainsi conduit au théorème suivant: 



Dans un quadrilatère quelconque chacun des triangles barycentriques dont 

 il se compose, est égal à la moyenne arithmétique de trois triangles diagonaux 

 adjacents, dont celui du milieu a la même base que le triangle barycentrique 

 considéré. 



Ce théorème donne lieu à d'autres conséquences remarquables. Désignons 

 par F l'aire du quadrilatère, par a, b, c, d les quatre triangles diagonaux qui 

 ont pour bases resp. les côtés AB, B C, CD, DA du tiuadrilatère, et par a, 

 ß, y, d les triangles barycentriques correspondants, nous aurons, d'après le 

 théorème précédent, 



a+b+d F~c 



(1) 



ß = 

 y = 



d'où 



