N:o ö. Rerherehes sur Ips polyèdrrt; iimxima. 15 



le centre de gravité du triangle ne peut se tronvei' sur une certaine droite 

 QX ou dans un certain plan passant par elle, il suffit de faire voir que le 

 quatrième rayon ou le quatrième plan du faisceau harmonique déterminé par 

 les droites QA, QD, QX ou par les plans qui les contiennent, rencontre le 

 prolongement du côté AD soit dans un sens soit dans l'autre. 



Nous fei'ons dans la suite un fréquent usage de ces remarques. 



7. Centre de gravité d'un polygone. — Ijcs polygones ayant plus de 

 quatre côtés ne présentent pas en général de propriétés bien marquantes rela- 

 tives à leuis centres de gravité. Cependant on peut signaler une circonstance 

 assez remarquable concernant les polygones circonscrits à un cercle. Elle est 

 contenue dans le théorème suivant: 



Un polygone étant circonscrit à nn cercle, les centres de gravité de son 

 aire et de son périmètre se trouvent sur nn même rayon du cercle, leurs distan- 

 ces a%i centre étant respectivement comme 2 : 3. 



Soit P un tel polygone et le centre du cercle insciit. Considérons les 

 triangles dans lesquels le polygone est partagé par les droites qui en joignent 

 les sommets au centre 0. Si par les centres de gravité de ces différents triang- 

 les on mène des droites parallèles aux côtés coiTCspondants du polygone P, on 

 construit par là un autre polygone P conforme au premier avec le point O 

 comme centre de similitude, et Ton voit immédiatement que le centre de gra- 

 vité de l'aire de P coïncide avec celui du périmètre de P. Or, à cause de 

 la similitude projective des polygones P et P' les centres de gravité de leurs 

 périmètres respectifs doivent se trouver sur un même rayon à des distances 

 du centre proportionelles aux dimensions linéaires des deux figures, lesquelles sont 

 entre elles comme 3 : 2. On a donc, G étant le centre de gravité de l'aire et 



G' celui du périmètre du polygone donné, OG = ^ OG', c. q. f. d. 



8. Centre de gravité d'un polyèdre circonscrit à une sphère. — En com- 

 parant le polyèdre donné avec un autre semblable et homothétique dont les di- 

 mensions linéaires sont % de celles de la première figure, on arrive par un 

 raisonnement, analogue à celui du n" précédent, à établir la proposition sui- 

 vante : 



Un p'olyèdre étant circonscrit à îine sphère, les centres de gravité de son 

 volume et de sa surface totale se trouvent sur îin même rayon de la sphère, 

 leurs distances respectives au centre étant comme 3 : 4. 



Nous signalons encore le théorème suivant relatif aux polyèdi'es dont il s"agit : 



