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Si tontes les faces du polyèdre sont tonchces dans leurs centres de gravité 

 res2)ectifs par la sphère inscrite, les centres de gravité du. vohmie et de la sur- 

 face totale du polyèdre coïncideront avec le centre de la sphère. 



Pour le démontrer, nous nous proposons d'évaluer la distance du centre de 

 gravité G du polyèdre à un plan arbitraire C mené par le centre de la 

 sphère. Soit Ä une des faces du polyèdre, a son centre de gravité, « l'angle 

 formé par le rayon Oa avec la normale au plan C pi-ise dans un sens déter- 

 miné. Le centre de gravité de la pyramide qui a la face A pour base et le 

 centre pour sommet, est situé sur Oa à une distance de qui est % du raj^on 

 R de la sphère. Le moment du volume de la pyramide par rapport au plan 

 G sera donc 



BA 3 ^ R^ , 



-TT- • - K cos tt = -— A cos a . 

 3 4 4 



Or, A cos a n'est autre chose que la projection de la face A sur le plan C, 

 prise avec le signe + ou —, suivant que « est inférieur ou supérieur à 90". 

 En prenant la somme de ces expressions relatives à toutes les faces, le résul- 

 tat doit évidemment être nul, puisque la somme des projections positives couvre 

 exactement celle des projections négatives. Il en résulte que le moment du 

 volume du polyèdre entier par rapport au plan G est aussi nul, c'est-à- 

 dire que le centre de gravité G se trouve dans ce plan. Cela ayant lieu pour 

 tout plan passant par 0, il faut donc que G coïncide avec 0. En vertu du 

 théorème précédent on en conclut immédiatement que le centre de gravité de 

 la surface du polyèdre coïncide aussi avec le centre de la sphère. 



La réciproque de cette proposition n'est pas vraie en général. Ainsi 

 p. ex. une pyi-amide régulière double a toujours son centre de gravité au centre 

 de la sphère inscrite, quand même celle-ci ne touche pas les faces dans leurs 

 centres de gravité. 



III. Applications à différentes classes de polyèdres. 



9. Après ces considérations préliminaires nous arrivons au sujet principal 

 de notre recherche. En passant successivement en revue différentes classes de 

 polyèdres, nous allons examiner s'il y a parmi ceux qui appartiennent à une 

 classe donnée, un ou plusieurs qui satisfassent aux conditions générales du 

 maximum, lesquelles exigent que le polyèdre soit circonscrit à une sphère et 



