N:o 8. Recherches sur les polyèdres luarima. 17 



touché par elle aux centres de gravité de ses faces. Pour abréger, nous appelle- 

 rons un tel polj^èdre maximal, sans nous préoccupe)', pour le moment, s'il est 

 ou non un vrai maximum. 



Pyramides. 



Nous ferons remarquer tout d'abord que deux faces triangulaires d'un 

 polyèdre quelconque, ayant une arête commune et étant touchées par une sphère 

 dans leurs centres de gravité respectifs, sont nécessairement égales dans toutes 

 leurs parties. Cela est une conséquence immédiate de la position symétrique 

 des points de contact par rap])ort à l'arête commune et de ce qu'un triangle 

 est déterminé lorsqu'on en connaît un côté et le centre de gravité. 



D'après cela les triangles latéraux d'une pyramide maximale, quel que 

 soit leur nombre, sont tous égaux et confoi'uies. On en conclut d'une part que 

 la base de la pyramide est é(iuilatérale, et de l'autre que les droites qui joignent 

 les points milieux des côtés de la base au sommet de la pyramide et qui 

 se confondent avec des génératrices du cône inscrit, sont aussi égales entre 

 elles. Ces points milieux se trouvent donc sur la circonférence d'un cercle 

 auquel la base est circonscrite, d'où il suit que celle-ci est un polygone régu- 

 lier et que la pyramide elle-même est régulière. 



Nous savons d'ailleurs (n" H) que le centre de gravité de la pyramide maxi- 

 male doit coïncider avec le centre de la sphère inscrite. La hauteur de la pyra- 

 mide sera donc égale au quadruple du rayon de la sphère; et comme l'apothème 

 de la base doit être le tiers de la hauteur d'un ti-iangle latéral, on trouve, 

 en prenant pour unité le l'ayoïi de la sphère, que cet apothème est = 1^2, quel 

 que soit le nombre des côtés de la pyramide. 



Pyramide tronquée. 



10. Considérons une pjTamidc tronquée T circonscrite à une sphère. 

 Désignons par 8 le sommet de la pyramide complète dont elle fait partie, par 

 B la base supérieure (celle qui est plus rapprochée de iS') et par D la base 

 inférieure du tronc T. Soit L l'intersection des plans des deux bases et l leur 

 corde de contact avec la sphère. Cette corde étant prolongée en haut (au-delà 

 de la base B) entre dans la pyramide détachée SB et doit nécessairement, en 

 sortant de celle-ci, rencontrer une des faces latérales de la pyramide tronquée 

 dans son prolongement vers le sommet S. (Elle pourrait rencontrer à la fois 



