N:o 8. Recherches sur les iiohjcdres maxima- 21 



Prisme à bases parallèles. 



13. Nous supposons toujours ({ue la tigure à examiner soit circonscrite à 

 une sphère. Joignons les centres de gravité des deux bases par une droite. 

 Pour que les bases, étant parallèles, puissent être touchées par la sphère inscrite 

 dans leurs centres de gravité respectifs, elles doivent être perpendiculaires à 

 cette droite et, par conséquent, aux arêtes du prisme. La tigure est donc un 

 prisme droit, et comme la sphère doit aussi toucher chaque rectangle latéral 

 en son centre de gravité, il faut ipie ces rectangles soient égaux. 



Un prisme maximal est donc nécessairement réguHer et tel que sa hauteur 

 est le double de l'apothème de la base. 



Prisme à bases quelconques. 



14. Les centres de gravité des deux bases se trouvent sur une droite qui 

 est parallèle aux arêtes latérales du prisme. Poiu" que cette droite soit corde 

 de contact de la sphère inscrite avec les deux bases, il faut (jue celles-ci soient 

 également inclinées sur elle, et que leur intersection L lui soit perpendiculaire. 

 Ainsi le plan diamétral mené par L doit être perpendiculaire aux arêtes laté- 

 rales et diviser la figure prismati(ßie en deux parties symétriques. 



Cela posé, supposons d'abord que le prisme soit triangnlairt. Imaginons 

 les faces du prisme divisées en triangles ayant pour bases les arêtes et pour 

 sommets les points de contact des faces respectives avec la sphère. Un de ces 

 triangles, appartenant à une face quelconque, est égal au triangle voisin de la 

 face adjacente avec lequel il a même arête pour base commune. Ainsi les 

 triangles dont se compose la base supérieure (le prisme étant supposé vertical), 

 sont respectivement égaux aux triangles supérieurs des trois faces latérales, et 

 ceux de la base inférieure sont égaux aux triangles inférieurs des mêmes faces. 

 Or, en admettant que les points de contact sont en même temps centres de 

 gravité des faces respectives, les ti'ois triangles dont se compose chacune des 

 bases, sont équivalents, et comme les bases elles-mêmes sont égales à cause de 

 leur position symétrique, il s'ensuit que les six triangles barycentriques supé- 

 rieurs et inférieurs des trois faces latérales sont tous équivalents entre eux. 



Désignons maintenant les triangles barycentriques restants des faces laté- 

 rales, je veux dire ceux qui ont respectivement pour bases les trois arêtes la- 



