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Beclierthes sur les polyèdres maaima. 



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Fis 



Désignons par J^, Ao, ^3,... les sommets de la section centrale, par 

 Pi, Po, P3, . . . les points où ses côtés successifs sont touchés par le cercle 

 inscrit, par //,, //o, h-,,... les perpendiculaires 

 abaissées de Ai, A-,, A-,, . . . sur la droite L, par 

 f 1 ) {'2 , J':i • • • les angles formés par les rayons 

 OPi , OP2 , OP., , . . . avec la droite OS et comp- 

 tés de celle-ci, en tournant de gauche à droite, de 

 à 2n, par ^, , t., les deux segments A^ Py, Pi A-, 

 du côté Al A,, par to, t^ les segments A^P', P2^i 

 du côté An A3 etc., (^,,^.1 = ^1). 



Le point de contact Pi étant aussi, d'après 

 l'hyi^othèse, centre de gravité du trapèze compris 

 entre les arêtes latérales qui passent par Ai et 

 J2 et que nous désignerons pour un moment par 

 ^"1 et k,, on a, d'après un théorème connu, 



tiito— ki + '2k.r. 12+ '^f^'\j d'où l'on tire, en observant que les arêtes ki et t, 

 sont proportionnelles aux pei'pendiculaires Jii et h,, 



(1) 



ti 



U 



t, + /2 



t^-k 



hi+2h^ 2hi + h^ S{hi+h^) II., 



h. 



Tant que ui<^7T, on a 7/j > /?i et par suite <i><2- Pour f»i > n- c'est 

 le contraire (jui a lieu. La formule (1) nous apprend en outre qu'en faisant 



vaiier ^^' de à 1, le rapport ^' varie de ^ à 1. En appliquant le même rai- 

 sonnement aux côtés successifs du pol3'gone central Ai Ao A^ . . . , on voit 

 qu'en suivant le contour de ce pol3'gone dans le sens indiqué, le premier seg- 

 ment de chaque côté est plus grand que le second tant que le point de con- 

 tact se trouve à gauche du diamètre vertical, mais plus petit, lorsqu'il se trouve 

 de l'autre côté. Aux extrémités de ce diamètre, c'est à dire dans les cas par- 

 ticuliers où l'on aurait pour un certain côté du polygone u — ou (t ~ :r , les 

 deux segments seraient égaux. 



Nous avons admis que les faces latérales du prisme sont touchées par 

 la sphère dans leurs centres de gravité respectifs. S'il en était de même 

 des deux bases, le point G serait centre de gravité de l'aire du polygone 

 Al An A^ . . . Cela est-il possible et dans quel cas ? C'est ce que nous allons 

 examiner. 



