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Recherches sur les polyèdres maoima. 



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prolonge la droite AO jusqu'à ce qu'elle rencontre le côté BC en un point K, les 

 triangles ABKet APO seront conformes, d'où il résulte que BK : 10 - BA : PA, 



c'est-à-dire iJiT : 1 = 3 : 2 , ou i?Z = " 



Mais B G 



Fig. -t. 



est >2, puisque BQ = 1 et QC^^r,- Donc le 



point C doit se trouver sur le prolongement de la 

 droite BK, en sorte que les deux côtés AB et 

 B G du polygone, vus du centre, embrassent en- 

 semble plus d'une demi-circonférence. Il en est 

 de même des deux côtés consécutifs qui, partant 

 de A , suivent l'autre côté du cercle. Ainsi ces 

 quatre côtés sous-tendraient ensemble un angle au 

 centre supérieur à 360". 



Si l'extrémité A du premier côté, au lieu de se 

 trouver sur l'axe L, était située au-dessus de lui, 



on aurait, en supposant AP = '2, PB =BQ:>1, yO^, et ce que nous ve- 

 nons de prouver à l'égard de la somme des angles au centre, aurait lieu à 

 plus forte raison. 



Il est donc bien certain que si le polygone central est un quadrilatère, au- 

 cun des segments ti^,L,h. . . ne peut atteindre et encore moins surpasser la 

 valeur 2; et à plus forte raison cela ne peut avoir lieu, si le nombre des côtés 

 n est > 4. 



D'après cela nous sommes autorisé à conclure qu'une figure prismatique à 

 plus de trois faces latérales ne peut satisfaire aux conditions du maximum, tant 

 que l'intersection L des bases se trouve à distance finie. Pour qu'elle puisse 

 être maximale, il faut que s soit infini, c'est à dire que les deux bases du 

 prisme soient parallèles. Cela étant, la figure rentre dans un cas déjà examiné. 



Les raisonnements qui précèdent, ne s'appliquent pas au cas où n = 3. 

 Mais comme ce cas a déjà été discuté, nous n'avons pas à y revenir. 



En résumé: Parmi les fif/ures primiatiques circonscrites à une sphère et 

 ayant un nombre de côtés quelconque, le 'prisyne régtdier est la seule dont tou- 

 tes les faces soient touchées par la sphère dans leurs centres de rjravité respectifs. 



Les raisonnements précédents ne perdent rien de leur validité, quand 

 même l'une des arêtes latérales s'évanouit, et ils prouvent que les faces de la 

 figure prismatique ne sauraient dans ce cas être touchées par la sphère dans 

 leurs centres de gravité, tant que n > 3. Mais il n'en est plus de même, 

 lorsque n = 3, la figiu'e se réduisant alors, par l'évanouissement d'une arête la- 



