N:o 8. Recherches sur les polyèdres maxima. 29 



cunéiforme (pyramide triangulaire tronquée) limité par cette base et par les 

 quatre plans latéraux, et pour en sortir de nouveau elle doit nécessairement 

 traverser un de ces derniers plans en un point P. Désignons par F la face 

 latérale dont c'est le plan, et par /' son point de contact avec la sphère. Quant 

 au point P, nous faisons remarquer qu'il est pôle du plan mené par L et /". 

 En effet ce pôle doit se trouver sur la polaire réciproque de L, qui est la 

 corde /, et en même temps sur le plan polaire du point /', c'est-à-dire sur le 

 plan B\ 11 en résulte que les deux plans menés par L dont l'un passe par 

 P et l'autre par /', sont conjugués harmoniques par rapport aux deux bases de 

 l'hexaèdre. Or le plan LP rencontre évidemment les prolongements ascendants 

 des arêtes latérales de la face F, puisqu'il passe entre la base supérieure et le 

 point de rencontre S de ces arêtes, à moins qu'il ne passe par ce point même. 

 D'après le théorème du n'^ 6 on peut en conclure que le point de contact /' 

 ne peut être en même temps centie de gravité du quadrilatère F. 



Nous avons supposé tacitement que les deux bases de l'hexaèdre se ren- 

 contrent à distance unie. 8i elles étaient parallèles, les deux plans conjugués 

 harmoniques passant par P et /' seraient aussi parallèles avec eux, mais la 

 démonstration précédente n'en serait pas autrement affectée. 



Il est donc impossible que toutes les faces latérales de la figure considé- 

 rée soient touchées en leurs centres de gravité respectifs par la sphère inscrite, 

 tant que les sommets du tétraèdre ii'i S^S^S^, formé par leurs plans, sont tous à 

 distance finie. Il en est de même encore si l'un ou deux seulement des sommets, 

 tels que 6'i et 64, s'éloignent à l'intini, pourvu que les autres restent à distance 

 finie. Cela reviendrait à supposer qu'une face ou que deux faces opposées, 

 telles que AB' et CV, eussent leurs arêtes latérales respectivement parallèles, 

 ce qui ne changerait pas essentiellement les conditions du problème. 



Pour que la condition dont il s'agit, relative aux centres de gravité des 

 faces latérales, puisse être remplie, il faut donc que celles-ci soient toutes pa- 

 rallèles à une même droite, c'est-à-dire que la tigure soit prismatique, ce qui 

 ramène la question à un cas déjà examiné. 



2:o. Trois sommets du tétraèdre se trouvent en dehors de l'une des ba- 

 ses et le quatrième en dehors de l'autre. — Soient S^ & ^'3 S^ (tig. 6) le tétraèdre 

 formé par les quatre plans latéraux et supposons que les frois sommets Si, S-,, 64 

 se trouvent au-dessus de la base supérieure AB CD et le quatrième S-^ au-dessous 

 de la base inférieure A'B'G'D'. Les plans des deux bases doivent nécessaire- 

 ment couper la droite »S'i <% en certains points E, E, puisqu'ils passent l'un et 

 l'autre, d'après l'hypothèse, entre les sommets 6\ et -S3. Quant à leur intersec- 



