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L. LiNDELÖF. 



T. XXIV. 



tion L, elle peut rencontrer la droite S^S.^ en un point T ou passer à Tintérieur 

 d'elle, entre cette droite et la face CD', ou bien extérieurement au trièdre 



(Si), c'est-à-dire à l'angle solide formé par les 

 trois plans latéraux qui se croisent en 6'i. Nous 

 pouvons laisser de côté les deux premiers cas, parce 

 que dans l'un et l'autre, en considérant les faces 

 AB' et CD' comme bases de l'hexaèdre, on aurait 

 affaire à une figure dont les autres faces conver- 

 gent veis Tune de celles-ci {CD') et qui rentre, 

 par conséquent, dans la forme que nous venons 

 de traiter. 11 suffit donc d'examiner le cas où 

 la droite L est extérieure au trièdre (<b\). 



Cela posé, soit l la corde de contact de la 

 sphère avec les deux bases AC,A'C'. Prolongée 

 au-dessus de la base supérieure cette corde doit 

 évidemment rencontrer un des trois plans latéraux 

 qui se croisent au sommet «S'i, en un point P si- 

 tué entre ce sommet et le plan AC. Supposons 

 que ce soit le plan de la face B C et désignons 

 par f le point de contact de cette face avec la 

 sphère. Si l'on mène par la di-oite L deux plans dont l'un passe par F et 

 l'autre par /', ces plans formeront avec les deux bases un faisceau harmonique. 

 Or, dans le cas actuel, la droite L étant extérieure au trièdre (Si), le plan 

 LF rencontre nécessairement les trois arêtes de ce trièdre au-dessus de la base 

 supérieure et par conséquent le prolongement ascendant au moins de l'une des 

 arêtes latérales de la face BC, d'où il résulte que le point de contact /' ne 

 peut pas être en même temps centre de gravité de cette face. Si le point F 

 se trouvait sur un des deux autres plans du trièdre, on prouverait de même 

 que la face latérale correspondante de l'hexaèdre ne pourrait pas être touchée 

 par la sphère en son centre de gravité. Cela n'est donc pas possible pour 

 toutes les trois faces dont il s'agit, à moins que le sommet Si ne s'éloigne à 

 l'infini, de sorte que les trois faces deviennent parallèles à la corde l. Dans 

 ce cas le plan mené par la droite L perpendiculairement à la même corde di- 

 vise en parties égales l'angle dièdre formé par les deux bases. 



Admettons que cela a lieu et menons par CD (tig. 7) un plan parallèle à 

 la corde L Ce plan coupera la base inférieure suivant une droite C"D" paral- 

 lèle à CD' de manière que le quadrilatère A'B'C'D" sei'a égal et conforme à 



