N:0 8. 



RerheirJies sur len polyèdres maxima. 



31 



Fie. 



Fig. 8. 



la base supérieure A B CD. A cause de leur position sj- 

 métrique ces deux figures auront leurs centres de gravité 

 sur une même droite parallèle à la corde /. Pour que 

 les centres de gravité des deux bases puissent coïnci- 

 der avec leurs points de contact avec la sphère, lesquels 

 se trouvent sur la corde /, il faudrait donc que la base 

 inférieure A'BC'D' et le quadrilatère ÄB'C'Ty' eussent 

 le même centre de gi'avité, ce qui est évidemment impos- 

 sible, à moins que C"D" ne coïncide avec CD, c'est-à- 

 dire que la figure considérée soit prismatique et par con- 

 séquent se réduise à un cube. 



3:o. Deux sommets du tétraèdre se trouvent en dehors de l'une des hases 

 et les deux autres en dehors de l'ardre. — C'est ce qui arrive, lorsque le té- 

 traèdre, formé par les plans latéraux, est circonscrit à la même sphère que la 

 figure donnée. Celle-ci fait aloi's partie du tétraèdre, dont elle est taillée ni03^en- 

 nant deux plans qui en détachent deux arêtes opposées et qui forment les bases 

 de l'hexaèdre. 



Désignons toujours par AB CD (fig. 8) la base su- 

 périeure et par A'B^ C'U la base inférieure de l'hexaèdre. 

 Dans le cas actuel une paire de faces latérales opposées, 

 soit ABi et CD', convergent vers la base supérieure et 

 l'autre paire, B G' et DA', vers la base inférieure. Nous 

 devons admettre que la figure a une disposition analogue 

 relativement à une autre paire quelconque de faces oppo- 

 sées, prises pour bases, c'est à dire que des quatre autres 

 faces de l'hexaèdre deux opposées convergent vers l'une 

 de ces bases et les deux autres vers l'autre. Car s'il 



en était autrement et qu'il existât une paire de bases telle, que les quatre 

 autres faces on trois d'entre elles convergeassent vers l'une de ces bases, on 

 aurait aftaire à un des cas déjà examinés. 



En admettant que l'hexaèdre est circonscrit à une sphère et que les points 

 de contact de toutes ses faces coïncident avec leurs centres de gravité respec- 

 tifs, il s'agit d'examiner ce qui en résulte pour la forme de la figure. Imagi- 

 nons des droites joignant les sommets de chaque face avec son centre de gra- 

 vité et qui la partagent ainsi en quatre triangles barycentriques. Deux faces 

 adjacentes ont toujours deux de ces triangles égaux et semblables, à savoir 

 ceux qui ont leur intersection pour base commune. 



