N:o 8. Recherches sur les pohjklres maxima. 33 



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en sorte que a est la plus grande et c la plus petite des quantités a,h,c, ä , 

 que ß est la plus grande et <)' la plus petite dans le groupe (3, (i, (3', ri' et 

 qu'enfin y est la plus grande et u la plus petite parmi les quantités u, y , «', /, 

 tandis que dans chacun de ces groupes la grandeur relative des deux termes 

 moyens reste indécise. 



Considérons maintenant les deux premières des équ. (1). A cause de 

 l'inégalité a^ h^ c, on a à' -\- h- — ah > Ir et Ir + r — bc<. t>^ et par suite 

 cr + IP — ab > ?/- + â — hc. On a donc aussi, eu égard aux équations dont il 

 s'agit, 



«2 _^ «'2 _ cm' > /Î2 + iï'2 — ßß'. 



En retranchant de cette inégalité, membre à membre, la seconde des équations (2) 



(3) a"- + /2 _ «'j/ = ß-2 _|_ ^'2 _ ß'a\ 



il Aient 



{a - /) (« + / - «')>(iS- d')(^ + d' - ß-). 



Or, les inégalités précédentes font voir que les facteurs a + y — a et j3 + ri' — (i' 

 sont essentiellement positifs, le premier étant > u et le second > à'. Les sig- 

 nes des deux membres de la dernière formule dépendent donc des facteui-s 

 h — y et (j — à\ dont le premier est négatif et le second positif. D'après cela 

 cette formule impliquei-ait une contradiction évidente. Pour la faire disparaître, 

 le seul mo3^en est de supposer « = / et |3 - ri', ce qui entraine les égalités plus 



générales 



« = «' = )' = )■' et |ï p ji' = d = ri'. 



Celles-ci admises, l'équation (3) exige en outre que «' = |i' et que, par suite, 

 les huit triangles barycentriques (c, (3, j-, ri, «', |3', /, ri' soient tous égaux. Sans 

 aller plus loin, nous pouvons en conclure déjà que les arêtes latérales doivent 

 toutes être parallèles, c'est-à-dire que la figure doit être prismatique; et comme 

 elle ne saurait alors satisfaire aux conditions du maximum sans être régulière 

 (p. 27), il faut qu'elle soit un cube. 



Ainsi il est démontré que '^)armi les hexaèdres à faces quadr angulaires 

 circonscrits à une sjihère, le cube est le seul dont toutes les faces soient touchées 

 par celle-ci dans leurs centres de gravité respectifs. 



