N:o 8 Recherches sur les polyèdres maxima. 35 



par le point F où la corde de contact l rencontre la surface de ce trièdre, 

 couperait nécessairement, entre autres, les prolongements supérieurs des arêtes 

 I/IJ et B'B appartenant aux deux faces triangulaires. En tenant compte de 

 cette remarque, on pourrait du reste se servir du même raisonnement que pré- 

 cédemment. Enfin si les points A, D et par suite aussi 5'j coïncidaient, ce 

 qui changerait la base supérieure et la face Al/ en triangles, on aurait 

 toujours à supposer l'intersection L extérieure au trièdre (S,) (puisqu'on 

 aurait sans cela, en prenant la face AH pour base inférieure, afïaire à une 

 variété du premier cas (fig. 5)) et l'on verrait que si le point P tombait sur 

 le plan de la face triangulaire AD', le plan LF couperait au moins le pro- 

 longement supérieur de laréte A' A de cette face, ce qui suffirait pour prouver 

 que le centre de gravité de celle-ci ne saurait alors coïncider avec son point 

 de contact. Le reste de la démonstration serait le même qu'auparavant. 



Admettons enfin que la figure considérée constitue un cas particulier d'un 

 hexaèdre de la troisième espèce, représentée par la figure (8); nous pouvons 

 supposer qu'elle en résulte par la suppression de l'arête C'C', ce qui ne con- 

 tredit pas les hypothèses précédemment établies sur l'hexaèdre dont il s'agit. 

 Nous aurons alors c = 0, 6 = (i — |5', d = y = y \ mais il n'y aura du reste rien à 

 changer dans les relations qui existent entre les triangles barycentriques, et l'on en 

 déduira, comme auparavant, l'égalité des huit triangles r; , /3 , ;' , rf , o', /i', /, d'. 

 Or, il nous suffit des deux égalités a ^ â et d = ()' pour savoir que les trois 

 arêtes AÄ, BB' et DD' sont parallèles. La figure se réduit donc à un tronc 

 de prisme tétragonal, dont les deux bases ont un sommet commun, et nous 

 savons déjà (p. 27) qu'une telle figure ne peut jamais satisfaire aux conditions 

 du maximum. 



b) Fifjure limitée par deux quadrilatères et quatre triangles. — On peut 

 s'imaginer une telle figure taillée d'une pyramide triangulaire tronquée (fig. 9), en 

 faisant passer par la diagonale BC' d'une face la- 

 térale un plan coupant l'arête ÄB' en un point '^ c' 



B". Admettons, s'il est possible, que la figure c^.^ — "^^"/^ 



dont il s'agit, est circonscrite à une sphère et AT .. - ' / I 



que celle-ci touche chacune des faces de la figure „/ -\ »/ / I 



en son centre de gravité. Comme les quatre fa- ^vl -^s<n' 



ces triangulaires ont deux à deux une arête corn- ^ -^ ' 



mune, ils seront tous équivalents (n" 9) et il en 



sera de même des triangles barycentriques dont ils se composent. D'autre part, 

 la face quadrangulaire ABB"Ä est entourée de trois faces triangulaires ABC, 



