36 L. LiNDELÖF. T. XXIV. 



BB" c et A B" C de manière à avoir une arête commune avec chacune d'elles, 

 d'où il suit qu'elle a trois triangles barycen triques équivalents. Mais dès lors 

 le quatrième est aussi égal à chacun des trois autres (en vertu tle l'équ. (3) 

 p. 13) et la tigure est un parallélogramme. Par une raison pareille l'autre 

 face quadrangulaire AÄC'Ü doit aussi être un parallélogramme, d'où il résulte 

 que les arêtes BB" et C C sont parallèles et que les plans des faces triangu- 

 laires B ce et BC'B" doivent se confondre. Il est donc impossible que cha- 

 cune d'elle puisse être touchée par la sphère en son centre de gravité. D'ail- 

 leurs la figure cesse d'être un hexaèdre. Par conséquent elle ne saurait 

 remplir les conditions exigées. 



c) Figure limitée i^o-r deux pentagones, deux quadrilatères et deux triangles 

 et d) fgure limitée par un pentagone, deux quadrilatères et trois triangles. 



Dans ces deux figures la base pentagonale a une arête commune avec cha- 

 cune des autres faces. Quant à la seconde ligure, elle se déduit de la pre- 

 mière par l'évanouissement d'une arête. 



Quoiqu'il semble certain que ni l'une, ni l'autre de ces figures ne saurait 

 satisfaire aux conditions du maximum, je n'ai pas jusqu'ici, malgré plusieurs 

 tentatives, réussi à le démontrer d'une manière générale et rigoureuse. Je 

 suis donc obligé de laisser à d'autres ce problème, qui paraît avoir un certain 

 intérêt pour compléter la théorie des hexaèdres. 



m. Conditions supplémentaires. Résultats définitifs. 



18. Jusqu'ici nous nous sommes occupés de certaines classes de polyèdres 

 uniquement dans le but de reconnaître lesquels d'entre eux possèdent la pro- 

 priété d'être circonscrits à une sphère qui touche chacune de leurs faces en 

 son centre de gravité. Cette propriété est, comme nous savons, une condition 

 nécessaire pour qu'un polyèdre, étant donné le nombre et l'étendue totale des 

 faces, ait le plus grand volume. Mais nous savons aussi qu'elle n'est pas 

 toujours suffisante. On peut bien regarder l'existence du maximum comme 

 évidente à priori, puisque le volume d'un corps dont la surface totale est don- 

 née, ne peut pas croître au-dessus de toute limite, et si parmi les polyèdres, 

 ayant un certain nombre de faces, il n'y avait qu'un seul qui satisfît à la- 

 dite condition, on aurait le droit de conclure immédiatement qu'il est un vrai 

 maximum. C'est le cas des solides limités par quatre plans. Parmi eux il n'y 



