N:o 8. Recherches sur les polyèdres maxima. 37 



a, en effet, qu'on seul, le tétraèdre régulier, dont les faces soient touchées en 

 leurs centres de gravité par la sphère inscrite. On peut donc, par cette seule 

 raison, affirmer que celui-ci a plus grand volume que tout autre tétraèdre de 

 même surface. Mais lorsque le nombre des faces n est supérieur à 4, il existe 

 en général plusieurs polyèdres qui remplissent la condition dont il s'agit, et comme 

 il est à présumer (jue pour chaque valeur de n il n'y a qu'un seul maximum, 

 on est dès lors obligé de recourir à une analyse spéciale pour écarter les solu- 

 tions étrangères. En supposant que les polyèdres soient circonscrits à une 

 sphère donnée, il s'agit alors de rechercher lequel d'entre eux a soit le moindre 

 volume, soit la moindre sm'face totale. C'est ce que nous allons faire, on nous 

 bornant toutefois aux cas où le nombre des faces ne dépasse pas six. 



Figures limitées par cinq plans. 



19. Parmi les pentaèdres circonscrits à une sphère donnée il y en a 

 deux qui satisfont à la condition relative au contact barycentrique des faces 

 que doit remplir le polyèdre dont le volume est un minimum ; ce sont le prisme 

 triangulaire régulier dont la hauteur est le double de l'apothème de la base, 

 et la pyramide régulière à base carrée dont la hauteur égale la diagonale de 

 la base. En désignant par E le rayon de la sphère, on trouve poui" les vo- 

 lumes de ces deux tigiues les valeurs suivantes: 



volumo du prisme = 6 j/3 iï' = 10,S92 E\ 

 volume de la pyramide — — E^ = 10,667 E^. 



La seconde figure aj^ant un plus grand volume que la première, on peut en 

 inférer qu'elle n'est pas un vrai minimum et qu'il doit y en avoir quelque 

 voie de déformation continue par laquelle on peut passer de la seconde figiu'e 

 à la première, tout en faisant décroître constamment le volume. 



Afin d'établir une liaison de cette espèce entre les deux 

 pentaèdres dont il s'agit, nous concevons une figure prismatique 

 triangulaire (fig. 10), dont une face latérale AB' est rectangu- 

 laire et dont les quatre autres faces sont deux à deux égales et 

 symétriquement inclinées sur elle. Nous admettons que cette 

 figure est circonscrite à une sphère de rayon 1 et que ses 

 deux bases ABC, ABC sont touchées par la sphère en leiu's centres de gra- 

 vité. Soit s la perpendiculaire abaissée du sommet C (ou C) sur la face 



