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opposée AB'; on peut considérer s comme seul paramètre variable. Si les 

 deux bases deviennent parallèles, la figure se change en un prisme droit à base 

 équilatérale et l'on a 6 = 3. Si, au contraire, les sommets C, C des deux ba- 

 ses coïncident, en sorte que la figure se tranforme en une p3a'amide régulière, 

 on trouve s — 4,. Lorsque la valeur de s varie continuellement de 3 à 4 ou 

 vice vei'sâ, la figure passe successivement de Tun de ces états limites à l'autre. 

 Désignons en général par V le volume de la figure considérée. Pour une va- 

 leur quelconque de s, comprise entre les limites indiquées, on trouve 



AB 

 2 



,/ s ÄA' ,/ s ce ., .-./s 



et par suite 



y _ 2AA' + ce AB.s _2 ^^/6 -s 



i\ 



3 f s — 2 



En prenant la dérivée logarithmique des deux membres, on en tire 

 \ åV _-2 1/1 1 \ _ 2 (s — 3) ( 4 — s ) 



2\6 — 



V ås s 2 \6 — s ^ s — 2/ s (s — 2) (6 — s) 



Cette expression s'évanouit tant pour s = S que pour s = 4 , mais entre ces limi- 

 tes elle reste constamment positive, ce qui prouve que le volume croît conti- 

 nuellement à partii" de la valeur qui correspond à 5 = 3 , c'est-à-dire de F = 6 VS , 



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à celle qui correspond à s = 4 et qui est V -- y. On voit par là que la 



première valeur seule peut être un vrai minimum, mais que le second ne l'est 

 pas. Ainsi il est démontré que de tous les pentaèdres circonscrits à une sphèi'e 

 donnée le prisme triangulaire régulier a le moindre volume. Et comme le mi- 

 nimum dans ces conditions correspond à un maximum de volume, étant donnée 

 la surface du polyèdre (n" 1), ce résultat nous permet de formuler la propo- 

 sition suivante: 



Farnii les ■pentaèdres de surface totale équivalente le prisme triangulaire 

 régulier cireonscriptible à une sphère, c'est-à-dire dont la hauteur est le double 

 de l'apothème de la base, a le plus grand volume. 



C'est là un des théorèmes les plus simples qui se rattachent aux recherches 

 célèbres de M. Steiner, mais dont la démonstration complète n'avait pas été 

 donnée jusqu'ici. 



