N:o 8. Recherches sur les polyèdres maxima. 39 



Figures limitées par six plans. 



20. Parmi ces figures nous avons rencontré précédenimont trois qui jouis- 

 sent (le la propriété d'être circonscrites à une sphère qui touche leurs faces 

 dans leurs centres de gravité respectifs; ce sont: 1) le cuhe, 2) la pyramide 

 pentagonale régulière dont la hauteur est le quadruple du rayon de la sphère 

 inscrite, et 3) la douhle-pyramide trigonale régulière ayant deux angles solides 

 tri-rectangles. Les volumes de ces trois figures, en prenant le rayon de la 



sphère pour unité linéaire, sont respectivement : pour le cuhe F =^ 8 , pour la 



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 pyramide simple F = -^ tang B6" = 9.G87 . . . et pour la pyramide double F =9. 



Cette comparaison fait voir déjà que ni la pyramide simple, ni la pyramide 

 double ne représente un minimum absolu parmi les hexaèdres circonscrits à une 

 sphère donnée. Mais il reste à examiner si l'une ou l'autre est un minimum 

 relativement aux figures voisines qui s"en déduisent par un déplacement très 

 petit sur la sphère des points de contact des plans limites. 



Considéions en général une pyramide régulière de n côtés ayant la pro- 

 priété relative aux centres de gravité des faces que nous venons de signaler. 

 Soit s la hauteur de la pyramide, h celle d'un triangle latéral, a la longueur 

 d'une arête latérale, h le côté et p l'apothème de la base; on obtient successive- 

 ment 



s = 4 , jj .-= }/2 , /i = ;3 1/2 , 



: 2 }/2 tang ^ , a = j/ 18 + 2 tang^-- 



Désignons par ß l'angle dièdre formé par une face latérale avec la base et 

 par o' l'angle extérieur de deux faces latérales contigues; on trouve encore 



tang ß = '^^ = 2y2 



d'où 



