N:o 8. Recherches sur les polyèdres maxima. 41 



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Cette expression est positive ou negative, suivant que tang - est > ou < // ^ , 



c'est-à-dire suivant que - est > ou < 37*^ 45'.?. Ainsi elle est certainement 



négative pour toute valeur de l'entier n supérieure à 4. Une pyramide circon- 

 scrite à une sphère et dont la base a plus de quatre côtés, peut donc toujours 

 être déformée en un polj'èdre de même nombre de faces, circonscrit à la même 

 sphère et ayant moindre volume que la jjyramide doiniée. Nous avons vu pré- 

 cédemment (n'^ 19) qu'il en est de même d'une pyramide quadiangulaire. 11 

 n'y a donc parmi les pyramides circonscrites à une sphère donnée que le té- 

 traèdre régulier qui soit un vrai minimum. Il en résulte, en particulier, qu'il 

 faut exclure la pyramide pentagonale, lors(iu"il s'agit de trouver le maximum 

 d'un hexaèdre à surface donnée. 



21. Quant à la pyramide double, on peut démontrer en général et sans 

 aucun calcul qu'une telle figure, supposée circonscrite à une sphère, ne saurait 

 jamais, quel qu'en soit le nombre des faces, avoir moindre volume que tout 

 autre polyèdre voisin ayant le même nombre de faces et circonscrit à la même 

 sphère. 



Considérons en effet une double pyramide régulière dont les 'In faces 

 sont touchées dans leurs centres de gravité respectifs par la sphère inscrite. 

 Soient P et /'' les doux pyramides simples, chacune de n côtés, dont elle est 

 composée. Concevons que, P restant invariable, la pyramide P tourne autour 



de l'axe commun des deux pyramides d un angle o) inférieur à - . Les deux 



bases, tout en restant dans le même plan, ne coïncideront plus; les sommets 

 A,B , C. . ., appartenant à la pyramide P, se trouveront à l'extérieur de la 

 figure P', et réciproquement les sommets Ä , B' 6", ... de la seconde pyramide 

 seront extérieurs à la première. En prolongeant les plans latéraux de la figure 

 P', chacun d'eux détachera de la figure P une petite pyramide triangulaire ayant 

 pour sommet un des points A, B , G, ... , et inversement les plans latéraux de la 

 figure P détacheront de la figure P des pyramides ayant pour sommets respectifs 

 les point Ä, P, C, ... Le polyèdre se trouvera ainsi diminué des '2n petites pyra- 

 mides détachées, qui seront d'ailleurs toutes égales entre elles. Ajoutons que cha- 

 cune de ces pyramides croîtra évidemment à partir de jusqu'à une certaine limite, 



lorsque a varie de à - , et diminuera ensuite jusqu à 0, quand gj varie de 

 - à — . Il en résulte que la pyramide double, comparée à d'autres polyèdres 



