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de même nombre de faces et circonscrits à la même sphère, n'est pas un mi- 

 nimum. Par la déformation que nous venons d'indiquer, elle diminue, en effet, 



continuellement jusqu'à une certaine valeur, qu elle acquiert lorsque 05 — -. 



Considérons en particulier la double-pyramide régulière formée par deux 

 trièdi'es tri-rectangles. Si l'on fait tourner l'un de ces tiièdres de 60", ses fa- 

 ces deviendront respectivement parallèles à celles de l'autre trièdre et la figure 

 se réduira à un cube. 



D'après cela il ne reste des trois espèces de figures régulières à six faces, 

 relevées plus haut, (]ue le cube qui, étant donnée sa surface totale, puisse 

 être un vrai maximum, et Ton ne saurait douter qu'il ne le soit en effet. Mais 

 pour en avoir la démonsti'ation complète, il faudrait encore i)rouver que parmi 

 les hexaèdres que nous avions du omettre dans notre recherche préliminaire 

 (p. 30), à savoir ceux qui comptent parmi leurs faces deux pentagones ou un 

 pentagone et un quadi'ilatère, il n'y a aucun qui, étant circonscrit à une sphère, 

 soit touché par elle aux centres de gravité de ses faces respectives. Tant que 

 cette preuve fait défaut, il reste une lacune regrettable dans la théorie des 

 maxima et minima des hexaèdres. 



Remarques sur les octaèdres. 



22. Si l'on rencontre parmi les hexaèdres des formes dont la discussion 

 présente des difficultés sérieuses, celles-ci augmentent encore considérablement 

 lorsque le nombre des faces devient plus grand. Pour les octaèdres la variété 

 et la complication des formes est déjà si grande, qu'on doit renoncer à l'idée 

 d'une recherche complète de leurs maxima et minima. C'est pourquoi nous de- 

 vons nous borner à quelques observations relatives aux cas les plus simples. 



Parmi les figures examinées précédemment nous avons rencontré quatre 

 espèces d'octaèdres qui jouissent de la propriété d'être circonscrits à une sphère 

 touchant leurs faces dans leurs centres de gravité. Ce sont: 1) la pyramide 

 heptagonale régulière dont la hauteur est le quadruple du rayon de la sphère; 

 2) une double-pyramide ti'iangulaire tronquée ; 3) le prisme hexagonal régulier 

 dont la hauteur est le double de l'apothème de la base, et 4) l'octaèdre régulier. 

 En prenant pour unité linéaire le rayon de la sphère et comparant entre eux 

 les volumes de ces quatre figures, qui sont alors: 



