N:o 8. Recherches sur les polyèdres maxima. 43 



\\o\\v la pyramide simple .... — tang "-= = 8.9804 . . , 



„ la double-iiyramide tronquée . |/3 (2 -|- j/'T) = S.oujt . . , 



„ le prisme 4 |/3 = 6.9282 . . , 



„ l'octaèdi-e régulier .... 4 }/3 = 6.9282 . . , 



on voit tout d'abord que les deux premières figures ne sauraient entrer en 

 ligne de compte, lorsqu'il s'agit de trouver le plus petit octaèdre circonscrit à 

 une sphère donnée. En etfet, nous savons déjà (n° 20) qu'une pyramide cir- 

 conscrite à une sphère et dont la base a plus de trois côtés, est toujours sus- 

 ceptible d'une déformation qui en diminue le volume, et nous verrons tout à l'heure 

 (n" 24) qu'il en est de même d'une double-pyramide tronquée. Considérant en- 

 suite le prisme et l'octaèdre régulier, il y a une chose qui attire l'attention, (;'est 

 qu'étant circonscrites a une sphère donnée, ces deux figures ont exactement le 

 même volume, ce qui fait penser que ni l'une ni l'autre n'est un vrai mini- 

 mum. Ce résultat peut paraître un peu inattendu, surtout à l'égard de l'octaèdre, 

 qui appartient au groupe des cinq polyèdres réguliers, parce qu'on serait sans 

 doute tenté à admettre à priori qu'un tel polyèdre dût se rapprocher de la 

 sphère inscrite, quant à son volume, plus que tout autre polyèdre d'un même 

 nombre de faces. On se l'explique cependant en observant que l'octaèdre ré- 

 gulier appartient à la classe des doubles-pyramides régulières, et en se rappe- 

 lant qu'une telle figure peut toujours être déformée, si l'on en fait tourner 

 l'une des moitiés autour de l'axe, en une autre de même nombre de faces mais 

 de moindre volume *). 



23. Nous allons étudier de plus près cette tranformation. Considérons, 

 en général, une double pyramide régulière // de 2n faces, touchées en leurs 

 centres de gravité par la sphère inscrite au rayon 1, et imaginons-nous qu'on 

 fasse tourner l'une des pyramides simples dont elle se compose, d'un angle 



- autour de l'axe de la figure. Dans cette nouvelle position les plans tangents 



détermineront un nouveau polyèdre II* également de "lu faces, qui sont encore 

 égales et conformes. Chacune d'elles est un quadrilatère ayant deux paires de 



') Nous apprenons par là qu'il faut se garder de donner une trop grande extension au 

 théorème énoncé par M. Steiner (Journal de Crelle, vol. XXIV p. 230) dans les termes suivants : 

 „Parmi tous les corps de sa classe l'octoèdre régulier a le plus grand volume, la surface étant 

 donnée, et la plus petite surface, le volume étant donné". La „classe" ne doit comprendre ici 

 que les doubles-pyramides quadrangulaires. 



