N:o 8. Recherches siir les polyèdres maxima. 45 



di ^ • 



ou 



.«r 



1 + cos — 



n 



sin(f cosiT -f- sin a = 





2 cos^ — 

 n 



1 + cos - 

 2 n 



/ 



1 + 2 cos* - 

 n 



et par suite 



]/6 



La distance du centre de gravité au sommet S est donc pour le quadrilatère 

 SMFN la même que pour la face correspondante de la double-pyramide, 

 d'où il suit que le point G coïncide avec le point de contact du qua- 

 drilatère. Ainsi la ligure transformée II* a encore la propriété d'être touchée 

 par la sphère inscrite aux centres de gravité des faces respectives. 



En désignant par F* le volume de cette figiu-e, on trouve successivement 



.T 



n sin — 



„^ 2m , . „ 8n s" sinof sinoi sin^ . , ,- n 



F* = -s- arf sm^ =— ~ ■ „ , -^ ^- = 41/3 5 • 



3 3 sin2(« + y) »^ / .T.2 



^ ( 1 + cos - 



l »/ 



En comparant ce volume à celui de la double-pyramide U, qui est (n° 11) 



F = }/3 n tang - , 



71 



on trouve pour leur rapport l'expression 



F* ^^°^-^ , ^ ,. 



'l + cos^ 



Pour n = 4 la figure /7 * est un octaèdre à faces quadrilatères, qui sont 

 toutes égales et conformes. On pourrait l'appeler octaèdre demi-régulier. Son 



volume est 4]/'3 [l - tang^|) = IQVS {SVÏ- 4:) = 6.7241 . . et elle est ainsi in- 



