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férieure à chacun des octaèdres considérés précédemment. Mais la question de 

 savoir si elle a réellement le moindre volume de tous les octaèdi'es circonscrits 

 à une même sphère, constitue un problème très compliqué, dont la solution se 

 fera probablement attendre encore longtemps. 



24. Une déformation analogue à celle que nous venons de faire subir à 

 la pyramide double, peut être appliquée à la double-pyramide tronquée régulière 

 pour en diminuer le volume. Considérons en particulier une figure de cette 

 espèce composée de deux pyramides triangulaires tronquées et ayant par suite 

 huit faces, dont deux opposées sont des triangles équilatéraux et les six autres 

 des trapèzes. Supposons que cette figure soit circonscrite à une sphère qui en 

 touche les faces dans leurs centres de gravité. Si l'on fait tourner l'une des 



pyramides tronquées composantes d'un angle g = 60" autour de 1 axe, ou formera 



un nouvel octaèdre limité encore par deux bases triangulaires, mais où les six 

 trapèzes latéraux seront remplacés par des pentagones. Par cette déformation 

 le volume aura diminué, bien que les faces latérales ne soient plus touchées 

 par la sphère dans leurs centres de gravité. En réglant convenablement l'in- 

 clinaison des faces latérales sur Taxe, on parviendra cependant à faire coïnci- 

 der les centres de gravité de toutes les faces avec leurs points de contact. 

 Par cette seconde déformation le volume sera encore diminué. Néanmoins le 

 volume de la figure maximale (d'après la définition du n:o 9) à laquelle on 

 arrive de cette manière, est encore supérieur à celui de l'octaèdre régulier et, 

 par conséquent, il ne représente pas un vrai minimum. Nous nous contentons 

 de ces indications générales, les calculs numériques qui s'y rapportent, n'ayant 

 pas assez d'intérêt pour trouver place ici. 



Remarque sur l'icosaèdre. 



25. Dans son mémoire déjà cité (Journal de Grelle, Bd. 24, p. 236) 

 M. Steiner, en parlant des problèmes relatifs aux maxima et minima des po- 

 lyèdres qui restent encore à résoudre, avance entre autres l'hypothèse suivante: 

 „Il n'y a pas de doute que le dodécaèdre et l'icosaèdre réguliers sont des maxima 

 parmi les corps qui sont respectivement de la même espèce et qui ont des sur- 

 faces totales équivalentes". Or cette hypothèse, quelque légitime qu'elle pa- 

 raisse au premier coup d'oeuil, est pourtant sujette à une restriction en tant 

 qu'il s'agit de l'icosaèdre. 



