N:o 8. Recherches sur les polyèdres maxima. 47 



Considérons en eifet un icosaèdi'e régulier J. Soient S et S' deux som- 

 mets diamétralement opposés, l'un supérieur et Tautre inférieur, de la figure. 

 Les cinq triangles superficiels dont .S est sommet commun, ont leurs bases si- 

 tuées dans un même plan P, qui partage ainsi l'icosaèdre en deux parties 

 inégales: une supérieure A et une inférieure B, dont la première est une py- 

 ramide pentagonale régulière. Imaginons-nous qu'on fasse tourner celle-ci autour 

 de l'axe 8S' d'un petit angle n et qu'on étende ensuite d'une part les faces 

 de la pyramide A et de l'autre celles du tronc B qui s'appuient par leurs 

 bases sur le plan P; les premières faces enlèveront les coins saillants du 

 tronc B en forme de cinq petites pyramides quadrangulaii'es, et les dernières 

 ceux de la pyramide A en forme de cinq pyramides triangulaires, et l'on ob- 

 tiendra ainsi un nouvel icosaèdre de moindre volume que le premier. Les par- 

 ties enlevées seront au maximum et le solide restant par suite au minimum, 



lorsque 1 angle oi est = 5 = 36 . En appli(iuant le même procédé à la partie 



du solide environnant le sommet S , on formera définitivement une figure J' 

 limitée par 20 pentagones et circonscrite à la même sphère que l'icosaèdre ré- 

 gulier, mais ayant un volume moindre. Ces pentagones sont de deux espèces, 

 les dix d'entre eux qui environnent les sommets S et S', formant un groupe 

 de figures égales et semblables et les dix autres formant un groupe différent. 

 Je me suis donné la peine de calculer le lieu du centre de gravité d'un des 

 premiers pentagones, afin de savoir s'il co'ïncide avec son point de contact avec 

 la sphère. Le résultat a été négatif, le premier point étant plus éloigné du 

 pôle voisin {S ou S) que le second. Le polyèdre transformé /', bien qu'il ait 

 un volume moindre que l'icosaèdre régulier J, n'est donc pas une figure maxi- 

 male. 



Pour le présent nous en resterons là, sans aborder la question de savoir quel 

 est, parmi les icosaèdres de même surface totale, celui dont le volume soit un 

 maximum. Nous ferons seulement remarquer que ce n'est pas, en tout cas, 

 l'icosaèdre régulier. 



