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werden kann, welche nicht nur für i2 (s) > 1 , sondern auch in einem beliebi- 

 gen endlichen Theile der Halbebene E{s)<;l gleichmässig convergirt und 

 somit die analytische Fortsetzung von C {s, w) über das Gebiet jS (s) > 1 hin- 

 aus darstellt. 



Die BEENODLLi'sche Function /«ter Ordnung kann in der Form ■ 



if{w,m)=iü' ^ ^w +y^jB,iv -(^^jAw +(^gj£3«(' -••• 



dargestellt werden, wo m eine positive ganze Zahl bedeutet und rechter Hand 

 kein von w freies Glied vorkommen darf, so dass also yi (0, m) = 0. Dieses Po- 

 lynom besitzt die Eigenschaft 



(2) (f {w -\- \,m) — (f iw, m) = mw'" " 



und ist als ganze rationale Function duix'h die genannten Eigenschaften voll- 

 ständig bestimmt. 



Die BERNOULLi'schen Functionen erster, zweiter bis einschliesslich (2/c + 2)- 

 ter Ordnung können offenbar aus einem einzigen Ausdrucke 



(3) 



^, {to, s) = w -'^w'-' + ^{- 1)" - ' [l) B, w 



erhalten werden indem man der Reihe nach s =1,2,..., 2Ä: + 2 setzt und 

 das für gerade Werthe von s auftretende constante Glied jedesmal fortlässt, 

 d. h. es ist 



y* {w, 1) = y (w, 1) - 2 



(fk{w,2n + 1) = <f{w,2n + 1), n-1, 2 k, 



(fk{w,2n) =(f{w,2n) + { l)"~^ B„ ,n = l, 2, . . ., h, 



und schliesslich 



(fk {w, 2k + 2) = <p {w, 2k + 2) . 



Da also die Differenz (f,, {w + 1, s) — qpj, (»', s) mit qp {iv + 1, s) — (f {tv, s) 

 für s =1,2, ... . 2Ä: -|- 2 fihereifistimmt, so sieht man vermöfje (2) ein, dass 

 die Gleichung 



