N:o Kl. liber eine Veralhiemeinermui (h^' Rieniumischeii Function fc(s). 5 



(4) t^k (m- + \,s)- <fk (?r, s) stv' ~ * = 



für ein unbestimmtes iv die Wurzeln s = O, 1, 2, . . ., 2i- + 2 hesilzt. 



Dies vorausgeschickt, lautet nun die zu beweisende Formel folgenderweise 



(5) - *■ t (1 ». ir) = ifk {w, s) + 2j f'' ^^' + '* + !' ^) V'. («' + n, s) -s (tv + n)" H- 



Für i2(s)<u ist die Gültigkeit dieser Formel unmittelbar ersichtlich, da die 

 rechte Seite als Summe der beiden für i2(s)<0 convergenten ßeihen 



— sf(l —s,u^ — ~2jS{w +ny~^ 



H =0 



und 



X 



= ifk (IC, *■) + 2j ] Wie ("■ + « + 1, *•) - (fk {iv + «, s) \ 



n=0 



aufgefasst werden kann. Es kann aber bewiesen werden, dass die rechte Seite 

 von (5) eine in jedem endlichen Bereiche von s, wo die Ungleichheit R (*■) < 2ä + 2 

 gilt, gieichmässig convergirende Reihe ist. 



Aus (3) leuchtet ein, dass das allgemeine G-lied von (5) in eine Reihe 

 der Form 



(fk [IC + n + l,s) — (fk {IC + n, s) - s (w + ny ~ ^ = C\ (s) {w + nY ~^ + . .. 

 + C;^{s)ilv + ny~^+... 



entwickelt werden kann, wo C'a eine in s ganze rationale Function bedeutet, 

 deren Gradzahl höchstens gleich X sein kann. Setzt man s gleich irgend einer 

 der Zahlen 0, 1, 2, . . ., 2ä;+2, so verschwindet jedesmal vermöge (4) die 

 linke und somit auch die rechte Seite, und zwar für alle Werthe von w + u. 

 Die Coefficienten C'a sind also alle gleich der Null für s = 0, 1, 2, . . . , 2Ä: + 2. 

 Die 2Ä- + 2 ersten unter ihnen, deren Gradzahl nicht grösser ist als 2ä; + 2, 

 müssen mithin identisch verschwinden, wodurch sich ergiebt 



^k [w + n+l,s)~ (fk (w + n, s)-s {iv + ny ~ ' = («• -|- ny " -*' ^ '"':&{ ^ , s] , 



\w -\- n ) 



