6 Hj. Mellin. T. XXIV. 



wo ^ eine nach positiven ganzzahligen Potenzen von und s fortschrei- 



tende Reihe bezeichnet, welche für 



< 1 convergirt. Beschränkt man s 



für n — m, m + 1 , 



\w -\- n 



auf ein behebiges endhches Gebiet, so kann ^ ( — , — , s) 



I \w -\- n I 



. ... OD nicht über eine gewisse endliche Grenze M wachsen, falls m so gross 

 ist, dass i2 (tf + to) > 1 . Gilt für das Gebiet, auf welches s beschränkt wird, 

 zugleich die Ungleichheit i? (.s) < 2Ä; + 2 — f , wo e eine beliebig kleine positive 

 Zahl, so hat man 



\\(fic{w + n-\-\,s)- <fk (w + V, s) —s {tv + n)" '" H < V , jt+i • 



JLmi \ I ^J j w -|- rt I 



Die Reihe (5) convergirt also unbedingt und gleichmässig in jedem endlichen 

 Theile der Halbebene i2(s)<2Ä; + 2. 



Ersetzt man in (5) s durch s , so bekommt man die in der Halbebene 

 iE (&■) > - 2(fc + 1) convergirende Reihenentwickelung 



(6) s f (1 + .s'. H-) = if^ {w, - *•) +y , — -^+1 + (fk {w + n + l,-s) — (pt (tv -f n,-s)\, 



H — U 



B(s)> 2 (h + 1) . 



Da man k beliebig gross annehmen kann, so ergiebt sich, dass s f (1 + s, w) 

 als Function von a- den Charakter einer ganzen transcendenten Function besitzt. 



Bemerkenswert]! ist, dass die Werthe, welche diese Function s C {i + s, w) 

 für und alle negativen gamzahligen Werthe von s annimmt, rational in w 

 ausgedrückt werden können. 



Denn weil das allgemeine Glied von (6) vermöge (4) für die im Conver- 

 genzbereiche dieser Reihe gelegenen Werthe s = 0,— 1,— 2,..., — 2fc— 1 

 verschwindet, so ergiebt sich für s = und s = — 1 



(7) lim s c (1 + s, tv) = 1 und ? (0, w) - ^ — w, 



sowie 



n 



(8) w C (1 - n, w) = - (ft {w, n) = -(f> {w, n) + ( - 1) '^B^ , 



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