II. 



Die Coefficienteii in der Entwickelung von C (x, w) nach Potenzen von s -(- n 



als Functionen von w. 



2. Entwickelt man ^(s,w) in der Umgebung einer Stelle s ~ v, wobei r der 

 Einfachheit halber eine ganze Zahl sei, in eine nach ganzen Potenzen von 

 s — V fortschreitende Reihe, so ergeben sich als Coefficienten gewisse eigen- 

 thümliche Functionen von w. Bin besonderes Interesse bieten diejenigen Coef- 

 ficienten dar, welche zu den Stellen r = 1, 0, - 1, — 2, . . . . — w, . . . gehören, 

 weil sie nicht durch Dilïerentiation aus der ursprünglichen Reihe (1) erhalten 

 werden können, da dieselbe für E{s)<il überhaupt nicht mehr convergirt. Mit 

 diesem Missstande ist die Reihe (6) zwar nicht behaftet, dafür liefert sie aber 

 insbesondere füi' die höheren Ableitungen sehr complicirte Ausdrücke. Im 

 Nachfolgenden soll indes ein Weg angegeben werden, auf dem man die betref- 

 fenden Functionen vollständig erlangen kann, welche vermöge der einfachen 

 Functionalgleichungen, denen sie genügen, und des Zusammenhanges, in wel- 

 chem sie zu einander und der Reihe (1) stehen, bemerkenswerth sind. Es 

 verdient schon hier angeführt zu werden, dass die Gamma- und die trigono- 

 metrischen Functionen als ein sehr kleiner ïheil unter den Transcendenten 

 enthalten sind, auf die man bei einer eingehenderen Untersuchung jener Reihe 

 geführt wird. 



Es bietet keine Schwierigkeit dar, für die Coefficienten der Entwickelung 

 von C (s, îv) nach Potenzen von s — l oder, was auf dasselbe hinauskommt, für 

 die Coefficienten der beständig convergirenden Potenzreihe 



/ (s, w) = 1 - (s _ 1) C (s, w) = > /_-L^^ (s - 1)" 



