10 Hj. Mel lin. T. XXIV. 



Die Gri'össen */v("') kann man offenbar auch durch die Gleichung 



CO / V 



1 v^ V'-.. M 



(12) r=T-^(^'"^) = Znv-(^-^^'' 



«=o I 



definiren. Insbesondere ist 



'^'" ^'"^ = JT^ 1 '"^ ^"' + '"^ E -T. I "^ "^' ^"'^ 



mit der logarithmischen Ableitung von r{;w) identisch. Dies hat neulich Herr 

 Lerch in anderer Weise gezeigt und in Übereinstimmung hiermit haben wir 

 die Bezeichnung der folgenden Coeflicienten von (12) gewählt. Auf diejenigen 

 speciellen Ausdrücke, in welche die </'„ (iv) bei der Annahme m = 1 übergehen, 

 ist schon früher Herr Jensen (Comptes Rendus T. 104, 18S7) gekommen und 

 Herr Gram (Vetenskapernes Selskabs Ofversigter, Kjöbenhavn, 1895) hat eine 

 Menge derselben mit grosser Genauigkeit bei'echnet. 



Unabhängig von den obigen Ausdrücken (9) und (10) lässt sich nun auf 

 Grund zweier fundamentalen Eigenschaften der Function 'Ç {s, ir) zeigen, dass 

 die (/',.(") sowie auch die Grössen fe^''^(-n, «O sehr einfache Functionalgleichun- 

 gen befiiedigen, und dass diese auf jene Grössen zurückgeführt werden können. 

 Aus der Form der Reihe (1) erhellt sofort, dass fe(s. ") die beiden Eigenschaf- 

 ten besitzt 



(13) ^{s,n' + l)^-n--' + tis,w), 



(14) ---^ , ' '= -(ä- 1)^{s,w). 



(hu 



Aus der ersteren Gleichung folgt durch Differentation nach s 



(15) ^("^ (s, w H- 1) = (- 1)" + ' w-\\o^ wY + £^"^ (s, ^v) . 



Diese zunächst nur für die Halbebene -R (s) > 1 bewiesenen Gleichungen müssen 

 doch auf Grund eines bekannten functionentheoretischen Principes überhaupt 

 für alle Werthepaare s,ir gelten, in deren Umgebung sich ^(,s,w) regulär ver- 

 hält. Vom Gebiete der Grösse s braucht somit höchstens nur s = \ ausge- 

 schlossen zu werden, weil dieser Punkt die einzige im Endlichen gelegene sin- 

 gulare Stelle von £■(«,«) als Function von s ist. Die in den J^eihen (11) vor- 

 kommenden Functionen besitzen also vermöge (15) die Eigenschaften 



