III. 



Erweiterung der Theorie der Oammafniiction. 



5. Die Untersuchungen dieses Abschnittes haben den Zweck, eine Menge 

 von unendlichen Producten und Partialbruchreihen hervorzuheben, welche mit 

 den vorher erörterten Functionen ?'(-«,«') im engsten Zusammenhange stehen. 

 Es bietet sich dabei eine Gelegenheit dar, von bekannten Ergebnissen aus den 

 Arbeiten von Weierstrass und Herrn Mittag-Leffler über die Darstellbarkeit 

 von eindeutigen analytischen Functionen in bemerkenswerther Weise Gebrauch 

 zu machen. 



Handelt es sich darum, eine ganze transcendente Function F{x) herzu- 

 stellen, welche die Nullstellen 



«1, a^, . .., «,, . . . limlrtJ = Qo 



von den resp. Ordnungen 



besitzt, so nimmt man nach dem Vorgange von Weierstrass zunächst die po- 

 sitiven ganzen Zahlen 



Ui . 11^, . . . , n^, . . . 

 so an, dass die Reihe 



in jedem endlichen Bereiche von x gleichmässig convergirt. Die gesuchte 

 Function wird dann — abgesehen von einem Factor der Form e"*"^', wo G eine 

 ganze Function — dui'ch den Ausdruck 



