N:o 10. über eine Verallgemeineiimçi der Riemannschen Function f (,s). 19 



darg'estellt, und es ist zugleich 



^logP{.r) = (P{x). 



Das obige bleibt im wesentlichen noch bestehen, wenn man die Forderung 

 fallen lässt, dass die tu,, j^ositive. game Zahlen bedeuten sollen. Alsdann hört 

 das Product P(./-) indes auf eine ganze î'unction zu sein, und insbesondere 

 hört seine Eindeutigkeit auf, falls die m,. nicht alle ganze Zahlen sind. 



Von diesen allgemeinen Formeln gelangt man nun zu den von uns beab- 

 sichtigten unendlichen Producten und Partialbi'uchreihen, durch die folgenden 

 Annahmen hinsichtlich der Grössen « und m. Man setze a,. = - r und /«,, = ;/ (i-), 

 unter g (q) eine beliebige in q ganze rationale Function //ten Grades verstanden. 

 Alsdann können sämnitliche //^. ott'enbar gleich /* + 1 angenommen werden, wo- 

 durch man tlie fulgenden Ausdrücke bekommt: 



's^ 



■^ 1 1 



— - \ M + 1 



w*>...=ii^(=^r =!"<■•' 



• i + î,+ ... +(-!)■" "'" 



./; 4- »' I' v^ ^ r" "•" ^ 



!• = t V = \ 



X 



P(^)=I1 



(85) P(.t)= 11 1 + ..U' 



17, ,x^ -7+^ra^+---+(-i)"-^\,i,(7/"'t^^^^ 



U^t)^"^T^ 



.'/„{?)=- e + ^ Ç^ - •..+ (- 1)" ^'~^q"^' , log- P(.c) = J0 {X) dx . 







Es ist nun bemerkensweith, dass die logarithmischen Ableitungen (34) 



aller dieser Producte (35) von einander nicht wesentlich verschieden sind, weil 



sie durch die logarithmische x\bleitung von /'(a; +1) in einfacher Weise aus- 

 gedrückt werden können. Um dies zu zeigen, setze man 



i/ (?) = c„ + e, e + ■ • • + c„ q" 



