N:o 10. IJber eiyie Verallgemein&'ung der Riemannschen Function ^(s). 21 



Hieraus lässt sich weiter folgern, dass die Logarithmen der obigen Pro- 

 ducte (35) — bis auf additive ganze rationale Functionen — linear mit con- 

 stanten Coefficienten durch dieselben Integrale 



I x" II' (x) dx - 1 {x - 1)" (/' (x-) dx 



ausgedrückt werden können, wie die Functionen ^' {- n,x -\-\). Man siehe die 

 Formel (20) 



6. Die einfachste Function, welche aus (35) durch Specialisirung (9= — 1) 

 erhalten werden kann, ist offenbar die G-ammafunction oder genauer e^"" r{x-\- 1). 

 Auf Grrund dessen, was im vorangehenden § dargelegt wurde, könnte man 

 ohne Mühe zeigen, dass überhaupt alle in (35) enthaltenen Functionen mit ein- 

 ander durch functionale Beziehungen verbunden sind, von denen r{x -\-\) — x r{x) 

 die einfachste ist. Die bemerkenswerthesten unter diesen Functionen erhält 

 man aber indem man eine bereits in § 2 bei Gelegenheit der Functionen 

 t,'{—n,x) aufgeworfene Frage beantwortet. Da es hier als zweckmässiger er- 

 scheint, an die Stelle der Gammafunction die GAuss'sche Function II {x) = r[x-\- 1) 

 treten zu lassen, wollen wir die -betreffende Aufgabe nunmehr folgenderweise 

 formuliren: 



Giebt es eine unendliche Folge von Functionen ri{x), n^{x) . . ., n„{x), . . ., 

 welche — bis auf einen Factor der Gestalt e''*''', ivo G eine ganze Function 

 — in der Form (35) darstellbar sind und die durch die Gleichungen 



". »-+')=§!' 



n (x) 



bezeichneten Eigenschaften besitzen? 



Da die logarithmischen Ableitungen 'l\{x) der verlangten Functionen die 



Gleichungen 



