22 Hj. Mellin. T. XXIV. ' 



t !/>; (,r) = ?/>; (x + 1) - ^//, {x) = - J/.; _ ^ (.t) , 

 n = l, 2, . . ., 00 , 



erfüllen und — bis auf eine additive ganze Function — der Form (34) sein 

 müssen, so wollen wir zuvörderst die Frage beantworten, ob es allgemein 

 möglich sei, eine unendliche Folge von Partialbruchreihen der Gestalt 



(40) 



CO ^ 77- («) 



'^«(-)=2friv+^"(- 



n) 



n-Q, 1, 2, 



^, 



unter denen ^o(*') als gegeben betrachtet wird, so zu bestimmen, dass i<I>„{x) 

 bis auf eine additive ganze Function gleich — ^„ _ i [x) ist. Nach dem Beweise 

 des MiTTAG-LEFFLEß'schen Satzes weiss man, dass die ganzen rationalen Func- 

 tionen g^ {x, n) immer, d. h. welche Werthe auch die Constanten K bekommen, 

 in mannigfaltiger Weise so bestimmt werden können, dass die betreffenden 

 Partialbruchreihen in jedem endlichen Bereiche von x gleichmässig convergiren. 

 Damit nun die Differenz 



K, 



» r I' (") 



C") 



J 0„ (x) = - -^- - g, (X, 71) + 2j [ l^r-vV + ^" (-^ + 1' "^ - ^l^ + 1 (•^'' '*^ 

 bis auf eine additive ganze Function gleich der Reihe 



v = \ 



sei, ist es offenbar nothwendig und hinreichend, dass 



(41) ^/"' = z/" - " und z;;\ - z;"' = z;;; ^' für r = i, 2, . . . , oo , 



n=\, 2, . . ., 00 . 



Durch diese Gleichungen werden die Constanten K aller folgenden Reihen ein- 

 deutig bestimmt, sobald die Constanten der Reihe 0„ (*) gegeben sind. Es ist 

 also immer und nur auf eine Weise möglich, die Constanten K derart zu be- 

 stimmen, dass die betreffenden Partialbruchreihen der in Frage stehenden For- 

 derung genügen. 



