N:o 10. Über eine Verallgemeinerung der Riemannschen Function C {s). 23 



Nehmen wir jetzt (I^^io:) im Besonderen gleich U''{x) an, so sind die Con- 

 stanten K^"^ nach (37) alle gleich -1, and es ergeben sich aus (41), indem 

 man zugleich die Eigenschaften 



-'-'\J = 



s + 



der Binomialcoefficienten beachtet, für die Constanten der folgenden Reihen die 

 Ausdrücke 



k::"'=-( 



»' + H - 1 



n 



n ! 



n=\. '2 X. 



Da also K^." oino in >■ ganze rationale Function y^ten (brades ist, so ge- 

 nügt es in (4U) 



'Jv (--'> «) = 



»' + w — 1 



---+...+(- 1)" -^-- 



anzunehmen, um die folgende in jedem endlichen Bereiche von .'■ gleichmässig 

 convergirende Partialbruchreihe zu erhalten 



(42) *„(3 



..w=-Ir^^•j 



^ -^ + -,+ ...+(-1)" + ' -^ 



X -\- V V 



,« + 1 



(-'»■^'Ê(;14..(-"r 



v = l 



welche die Eigenschaft 



(43) . /0„ (a;) = ~ 0,. _ , (X) + i/„ (a;) 



besitzt und als specieller Fall in (34) enthalten ist. Da die Gradzahl des Po- 

 lynoms gi. {x, n) von v unabhängig ist, so reducirt sich offenbar die ganze 

 Function H„ {x) auf eine rationale Function {n — l)ten Grades. 



Diese Function kann leicht ermittelt werden. Weil die Reihe (42) als 

 specieller Fall in (34) enthalten ist, so kann sie nach der Formel (38) folgen- 

 derweise durch U'{x) ausgedrückt werden: 



