N:o 10. über eine VeraîlgemeineniVfj der Riemannschen Function C(s). 29 



Formel (35) enthaltenen Transcendenten, für unendlich grosse Werthe des Ar- 

 gumentes verhalten. Diese Frage kann vollständig mit Hülfe gewisser asym- 

 totischen Formeln erledigt werden, unter denen die bekannte STißLraa'sche 

 Formel als der einfachste specielle Fall zu betrachten ist. Der Weg, auf dem 

 man die betreffenden Formeln, Oei denen complexe Werthe des Arf/unientes 

 keineswegs ausgeschlossen sind, erhalten kann, soll indes im § 11 dieser Arbeit 

 angegeben werden. Im übrigen wollen wir uns gegenwärtig auf die folgende 

 Darlegung des Zusammenhanges zwischen den in Frage stehenden und den 

 trigonometrischen Functionen beschränken. 



Zu dem Ende betrachten wir die Ausdrücke (34) und (35) für den Fall, 

 dass der Index r alle positiven und negativen ganzzahligeu Werthe durchläuft. 

 Um nicht den Werth i' = in exceptioneller Weise behandeln zu brauchen, 

 ersetzen wir zugleich r durch «• + v , was auch schon bei den Untersuchungen 

 des vorigen § hätte geschehen können. Wir betrachten also die Ausdrücke 



(59) ^M=Y 'Ï-'^^^i^ï" = 



Aj X-\-W -\- V VW -\- VJ 

 » = — 00 



1' = + 00 



MJ ^U + w + v ,,+ .+ •••+( ') (u,+ .)" + 0' 



(60) p,»,„o= n Ki + ^-LJe^-U-T.)!-'""". 



dx. 



y = — CO 



X 



^„ (9) = - ? + ^ Ç^ - . • . + (- 1)" + ' ^i ?" + ' , log P(x, w) = J* {X ,w) 



Offenbar sind und P periodische Functionen von dem Parameter w , falls die 

 Coefficienten in g (q) von w unabhängig sind. 



Auch liier ist der Umstand von Bedeutung, dass die logarithmischen Ab- 

 leitungen (59) aller dieser Producte (60) von einander nicht wesentlich verschie- 

 den sind, weil sie dui-ch cotg ^ {x + w) in einfacher Weise ausgedrückt werden 

 können. Setzt man nämlich 



^ (?) = Co + c, e + . . . + c„ q" 

 und beachtet die Formel 



