N:o 10. Übe)- eine Vei-aUgemeinerung der Riemavii selten Fimction ^{s). 31 



xncotgnw 



Po {x, tv) = 



ß sm )tw 



" -" + ^ , s - "^- sin n (x + w) ' 



w -\- vi 



n (^ + J^]e '"- 



» = — 00 



von welcher ausgehend eine unendliche Folge von Functionen mit den Eigen- 

 schaften 



P {x,w) 



P„{x^l,w) = -p^^-^^^-^y „=1,2,... CO. 



bestimmt werden kann. Durch diese können dann alle übrigen in der allge- 

 meinen Formel (6ü) enthaltenen Transcendenten ausgedrückt werden. 



8. Die in der vorliegenden Arbeit gebrauchten Methoden sind nicht auf 

 den hier behandelten Gegenstand allein beschränkt. Es giebt in der That eine 

 Menge von Reihen, welche ähnliche Untersuchungen vei-anlassen können, wie 

 die Reihe (1). Als Beispiele mögen, ausser der schon in § 1 angeführten 

 allgemeinen Reihe, die folgenden dienen 



00 v = + 00 05 



00 00 |U= + 00V=+QO 



t y — ' , y y 



{x + jUW -|- t'ù))" 



sowie die noch allgemeineren Reihen, welche hieraus entstehen indem man die 

 Ausdrücke 



- + ^ » 1 + 3; . x + iim-\-VM 



durch rationale Functionen derselben ersetzt. 



Löst man das Problem, welches an der Spitze der Untersuchungen der 

 beiden vorigen Paragraphen steht, für die Thetafunctionen, so gelangt man, 

 wie wir es jetzt in aller Kürze andeuten wollen, zu einer erhebhchen Menge 

 von bemerkenswerthen Transcendenten, welche sich zu den Theta- beziehungs- 

 weise den elliptischen Functionen ähnlich verhalten, wie die in diesem Ab- 



