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a+ ; CO 



(72) is-l):is,w) = J^ r (-. ^ r\z'~'dz, 



^ ' ^ / - V j ' 2m J \sm n: (z — iv)/ 



^ ff — i CO 



a >> , i2 (w — 1) <; a <C JS (iv) . 



Mit Benutzung dieses Ausdruckes kann eine von Herrn Hurwitz ') her- 

 rührende Verallgemeinerung der RiEMANN'schen Functionalgleichung folgender- 

 weise erhalten werden, wobei zugleich vorausgesetzt werden muss, dass iv eine 

 reelle die Bedingung 0<w<l erfüllende Grösse sei. Das Integral ändert 

 seinen Werth nicht, wenn der Integrationsweg so geändert wird, dass vom 

 Punkte (0, — Go ) nach (0, — q) in gerader Linie integrirt wird, unter q eine die 

 Grösse tv nicht übertreffende positive Zahl verstanden; alsdann von (0, — o) um 

 (0, 0) als Mittelpunkt im Halbkreise nach (0, q) , und zwar so. dass der zwischen 

 und w liegende Theil der reellen Axe überschritten wird; schliesslich in ge- 

 rader Linie von (0, ç) nach (0, + <»)■ Ersetzt man zugleich s durch 1—s, so 

 hat man also 



- SUI - S,lU)=^ — ^ {-. ^ r Z" dz + ^r-r -. r ) / dZ 



^ 2ni J \sm :k {z — îv)J 2sri J \sm st (z — iv)/ 



-/00 (e) 



1'^ 

 2m J \ sinji {z — w)l 



+ ^ { {-■ 7 ,\^'dz. 



Nehmen wir i? (s) > 1 an, so nähert sich das zweite über den Halbkreis er- 

 streckte Integral bei abnehmendem q der Grenze Null. Setzt man im ersten 

 Integrale z=—ix, im dritten z = ix und drückt sin ^{z — iu) durch die Expo- 

 nentialfunction aus, so erhält man durch Reihenentwickelung und gliedweise 

 Integration nach einfachen Rechnungen die Formel 



(73) 



^ cos ^ 1*^ — 2nw) 



C(l - 5, w) = 2 {2st)-'r(s) > '-±- ' 



^ n 



welche für iv = 1 in die RiEMANs'sche Functionalgleichung übergeht. 



') Einige Eigenschaften der Dirichletschen Functionen, die bei der Bestimmung der Classenan- 

 zahleti binärer quadratischer Formen auftreten. (Zeitschrift für Math, und Physik. 27. Jahrgang. 

 1882). Man siehe auch: Lipsohitz, Untersuchungen der Eigenschaften einer Gattung von unendlicheii 

 Reihen (Grelles Journal. Bd 105), wo eine analoge Formel für eine allgemeinere Keihe hergelei- 

 tet wird, sowie einen Aufsatz von Herrn Lerch (Acta Math. Bd 11). 



