N:o 10. Über eine Verallgemeinerung der Riemannschen Function i{s). 37 



Beschränkt man s auf die Halbebene 5 (s) > a , wo a eine die Einheit 

 übertreffende positive Zahl bedeutet, so zeigt uns die Reihe (1) ohne weiteres, 

 dass der absolute Betrag von t {s, tv) unter einer endlichen Grenze bleibt, wo- 

 fern zugleich w eine reelle positive Grösse ist, was überall im Folgenden der 

 Einfachheit halber vorausgesetzt wird. Die Formel (73) kann nun einen für 

 die Anwendung dieser Function in der Theorie der bestimmten Integrale wich- 

 tigen Aufschluss über das Verhalten derselben für unendlich grosse, der Halb- 

 ebene Ä (s)< angehörende Werthe von s geben, wobei w zunächst die Be- 

 dingung < »ü < 1 erfüllen muss. Zu dem Ende setze man *■ = h + iv und 

 beachte die Formeln 



(74) r{s) = I s" - i . e"1" ' " ' . j }/2.T + s I , 



(75) I sin sr (s - a) I = 2 e 1 6 ^ + « ] , 



wo t gegen die Null gleichmässig abnehmende Grössen bezeichnet, wenn u 

 zwischen beliebigen endlichen Grenzen bleibt, während | v ohne Ende wächst '). 

 Aus (73) ergiebt sich alsdann Folgendes: Beschränkt man s auf einen beliebi- 

 gen, der Halbebene i2 (s) < angehörenden, sur imaginären Axe parallelen 

 Streifen von endlicher Breite, so nähert sich t (s, w) , ivenigstens nach Multi- 

 plication mit einer passenden Potenz von s, bei wachsendem \s\ der Grenze 

 Null. Mit Hülfe der Formel ^{s,tv+l)=—w~' + ^{s,w) findet man, dass 

 dieses Resultat für alle positiven Wei'the von w seine Gültigkeit beibehält. 



Es bleibt aber nach dem Obigen unentschieden, wie sich C{i;tv) in dem 

 Parallelstreifen <E{s) <l bei wachsendem | s \ verhält. Um hierüber einen 

 Aufschluss zu gewinnen, betrachte man die schon früher benutzte in der Halb- 

 ebene i2 (s) > — 1 convergirende Reihe 



CO 



(s - 1) ^ {s, w) = w^~'''+ — ^^ if ~ '■ + 2j ^ («f'' + "' *) 



» = 



»1 — 1 CO 



= (m;+ m)'-'+'^-{w + m)-'+ ^ (s - 1) («; + n)"' + ^ Giw + n,s), 



') Siehe hinsichtlich der ersteren Formel meine Arbeit Zur Theorie der linearen Differenzen- 

 gleichungen erster Ordnung. (Acta Math. Bd 15.) 



