42 H.r. Mellin. T. XXIV. 



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00 



^J ^ (îc + ») X -I ^-i V 



a + I 00 



Setzt man tr = l, so findet man unter Berücksichtigung- von ç:(— 2)') = und 

 C(l — 2)^) = (— 1)"y^, dass diese Formel, abgesehen von der Form des Restglie- 

 des, in die bekannte asymtotische Formel des Herrn Schlömilch für die Lam- 

 BERx'sche Reihe übergeht. 



Als ein interessanter Umstand verdient hier angeführt zn werden, dass es 

 Herrn Levi-Civita gelungen ist. mit der LAMBERT'schen Reiiie als Ausgangs- 

 punkt eine Formel für die Anzahl der zwischen gegebenen Grenzen enthaltenen 

 Primzahlen herzustellen '). Nacii dem Obigen existirt nun in der That auch 

 zwischen dieser Reihe und der Function t(s), von welcher Riemann ausgeht, 

 ein gewisser Zusammenhang. 



11. Es wurde schon früher erwähnt, dass asymtotische Formeln herge- 

 stellt werden können, von denen die Stirling 'sehe Formel der einfachste spe- 

 cielle Fall ist und mittelst deren man das Verhalten aller in der allgemeinen 

 Formel (35) enthaltenen Functionen für unendlich grosse Werthe des Argumentes 

 beurtheilen kann, wobei nicht — wie es gewöhnlich bei der Herleitung der 

 STiELiNG'schen Formel geschieht — complexe Werthe des Argumentes ausge- 

 schlossen sind. Das angeführte ist zugleich eine neue Bestätigung dafür, dass 

 die Theorie der betreffenden Functionen in der That eine natürliche Erweiter- 

 ung der Theorie der EuLER'schen Gammafunction ist. Der innige Zusammen- 

 hang, in welchem alle diese Transcendenten mit der P'unction i{s,w) stehen, 

 wird sich bei der Herleitung ebenfalls von einer neuen Seite herausstellen. 



In § 6 wurde gezeigt, dass alle in (35) enthaltenen Functionen — bis auf 

 Factoren der Form e''*^', wo G eine ganze rationale Function — als Producte 

 von //-Functionen mit constanten Exponenten ausgedrückt werden können. Bei 

 den Untersuchungen dieses § ist es jedoch zweckmässiger, die genannten 

 Functionen auf gewisse andere ebenso einfache Ausdrücke wie die //„ (x) zu- 



Rendicoiiti della Acoad. ilei Liucei. Seduta del 7 aprile 1895. 



