N:o 10. liber eine Verallgemeinerung der BiemannscJien Function C{s)- 45 



die vermöge der oben genannten Eigßnschaft von /' einen endlichen und, abge- 

 sehen von dem Factor |a;i"^", von *■ unabhängige Werth hat. Das Integral 

 (86) ist also in dem Bereiche (87) gleichmässig convergent und stellt — da 

 die einzelnen Glieder von (88) monogene Functionen von x sind — auch selbst 

 eine analytische, daselbst überall (die Punkte x = und x — <xi ausgenommen) 

 regulär sich verhaltende Function von x dar. Indem man « hinreichend klein 

 annimmt, kann man bewirken, dass der Bereich (87) jede Stelle der x-Ebene, 

 mit Ausnahme der Punkte auf der negativen Hälfte der reellen Axe, umfasst. 

 Aus dem Obigen ergiebt sich zugleich die fundamentale Ungleichheit 



(89) \8Jx,n),<G{a,a)\x 



a -\- n 



wo C eine nur von ti und « abhängige Constante bedeutet. 



Dies vorausgeschickt, lässt sich nun beweisen, dass zwischen den beiden 

 Integralen (85) und (86) ein solcher Zusammenhang stattfindet, dass für die 

 ganze x-Ebene mit Ausnahme der negativen Hälfte der reellen Axe 



jx" 11' ix) clx - '/'•(0)^":p j = - Ä„ [x, n), 



. .. ./•" + ! 



(90) 



wofern zugleich a die Bedingung 1 < a < 2 erfüllt. 



Beschränkt man nämlich x auf denjenigen Theil des Bereiches (87), wo 

 1 a; |< 1 , und verschiebt den Integrationsweg von >S'„ ohne Ende in der positiven 

 Richtung der reellen Axe. so nähert sich ä„ vermöge (89) der Grenze Null, 

 denn C'(«, *) bleibt infolge lim l; {a -\- iv) = i endlich. Weil nun ein folgender 



« = + X 



Werth S,, unseres Integrals gleich ist dem ursprünglichen Werthe S„ , vermehrt 

 um die Residuen, welche zu den zwischen a und b gelegenen Unendlichkeits- 

 stellen z = 2, 3, . . . gehören, so ergiebt sich für - S^ die Reihenentwickelung 

 (85) . Da also die Gleichung (90) für einen ïheil des gemeinsamen Gültigkeits- 

 bereiches der beiden Integrale besteht, so findet sie auch für den ganzen Be- 

 reich (87) statt. 



Um schliesslich eine asymtotische Darstellung für (90) zu erhalten, braucht 

 man nur den Integrationsweg von S„ in der negativen Richtung der reellen 

 Axe zu verschieben und die zu den überschrittenen Unendlichkeitsstellen des 

 Integranden gehörigen Residuen zu bestimmen. Dabei hat man zu beachten, 

 dass z = l stets eine zweifache Unendlichkeitsstelle ist, was auch mit z = — n 

 der Fall ist, wenn n gleich der Null oder einer ungeraden negativen Zahl; 



