N:o 10. iJl>er eine Verallgemeinerung der Riemannsche^i Function t{s). 47 



(92) J X.- ^/>-(a.) .. = - r (- 2«) + 2^+ï log-' - (^-^. + ^ ^, 



v = l 



- 2Ä: - 1 < a < - 2Ä; + 1 < - 2w ; 



(93) /.-'-''/'•(-)^/- = r(i-2n) + (£' + (-ir|)iog._^^+^i;^ 



+ > (- 1) „" . „ ^ - S (x, 2n - l) , 



- 2Ä; - 1 < a < - 2i + 1 < - 2« + 1 ; 



von denen die erste, abgesehen von der Foim des Restgliedes, mit der gewöhn- 

 lichen STiRLiN(i 'sehen Formel znsannnenfällt. In der dritten Formel dentet der dem 

 Snmmenzeichen beigefügte Strich an, dass das Glied, wo v -n, nicht vorkommt. 

 Substituirt man für n in dei- Ungleichheit (89) resp. 0, 2«, 2?j — 1 nnd setzt 

 a=-2k~^^ ö, unter ö eine beliebig kleine positive Zahl verstanden, so er- 

 giebt sich, da%s sich das Restglied in jeder der drei Formeln hei ivachsendem 

 t X I der Grenze Null annähert, und zwar so schnell, dass noch die Grösse 



ivo m den Über schuss der Zahl 2Ä;+l über res}). 0,2»j,2« — 1 bedeutet, gegen 

 die Null convergirt. Hierbei muss das Argument von x die Bedingung (87) 

 erfüllen, wo i eine zwar beliebig kleine, aber bestimmte positive Zahl bedeutet. 



Die in (92) und (93) vorkommenden Grössen T (-2«) und T (1 — 2n) kön- 

 nen mittelst der Formeln (28) und (29) bestimmt werden. 



Macht man in (92) und (98) die Substitution (a;,./; 4- 1), so ergeben sich 

 mit Benutzung der Functionalgleichung von 'l' (') und bei wachsendem i x ge- 

 wisse Formeln, mit deren Hülfe die Integrale 



\x 



X '1' (x) dx 







mittelst der Grössen log }/2.«r , r(- 2n), r(l - 2?j) bestimmt werden können. 

 Die in den Logarithmen dei- //-Functionen vorkommenden Constanten (48) , 



