48 H.T. Mellin. 



T. XX H". 



welche offenbar linear mit rationalen Zahlencoefficienten durch diese Integrale 

 ausdrückbar sind, können somit auch durch die genannten Grössen bestimmt 

 werden. 



Die Formeln (91), (92), (93) sind einer Verallgemeinerung fähig, indem 

 man in S„{:x,n) an die Stelle von l,{z) die Function ^(5-, w) treten lässt. Die 

 linken Seiten nehmen alsdann die Form 





x" >l'{x -\- IV — X)åx 



an, während auf den rechten Seiten die BERNOuLLi'schen Functionen von ^u 

 nebst den BERNOuiiLi'schen Zahlen als Coefficienten erscheinen. Die Formel, 

 in welche (91) übergeht, stimmt abgesehen von der Form des Restgliedes, mit 

 derjenigen Verallgemeinerung der STiRLiNe'schen Formel überein, welche Herr 

 SoNiN neuerdings gegeben hat. '• 



Das Integral S„ {x, n) könnte noch dadurch verallgemeinert werden, dass 



man den Ausdruck -. — durch eine ganze i'ationale Function desselben oder 



sm stz ^ 



durch eine lineare Function von -^ und seine Ableitungen erzetzte. Die 



sin .irr ° 



asymtotischen Formeln, welche mit Hülfe des so verallgemeinerten Integrals 

 hergeleitet werden können, stehen im engen Zusammenhange mit den Integralen 



; 



x" ifi^ {x -f tv) dx 



wo die W ^i^ i^ § ^ charakterisirten Transcendenten bedeuten, auf die wir in 

 § 4 die Functionen f'^"^(— «,x) zurückgeführt haben. 



Das Integral Sa{x,n) und die soeben angedeuteten Verallgemeinerungen 

 desselben gehören nebst den im vorangehenden § verwendeten Integralen zu 

 einer sehr umfassenden Gattung von bestimmten Integralen, deren allgemeine 

 Theorie ich in früheren Arbeiten ausführlich entwickelt habe. Man sehe: 

 Über die fundamentale Wichtigkeit des Satses von Cauchi/ für die Theorien 

 der Gamma- und der hypergeonietrischen Functionen (Acta, T. XXI) und 

 Zur Theorie sweier allgemeinen Klassen bestimmter Integrale (Acta, T. XXII). 



12. Die Anwendbarkeit der im vorigen Paragraphen gebrauchten Me- 

 thode, mittelst deren asymtotische Formeln für die Logarithmen von unendlichen 



') Siehe den interessanten im IIb. Bande des CREr.i.E'schen Journals abgedruckten Brief- 

 wechsel zwischen den Herren Sdnin und Hbrmitb. 



